假設檢驗問題的基礎內容，三大抽樣分布在多元形態下的推廣。目錄
\(\chi^2\)得複習節。。。設\(x_i\sim n_1(\mu_i,\sigma^2)(i=1,...,n)\)，且相互獨立，記
\[x=\left[\begin
x'_1\\\vdots\\x'_n
\end\right]
\]則\(x\sim n_n(\mu=(\mu_1,...,\mu_n)',\sigma^2i_n)\).
\[\xi=x'x=\sum_^nx_i^2\sim\chi^2(n)（卡方分布）
\]\[\frac1\sum_^nx_i^2=\frac1x'x\sim\chi^2(n)
\]
(def)設 \(\ x_\sim n_n(\mu,i_n),(\mu\neq0)\)，則稱 \(\xi=x'x\) 為服從 \(n\) 個自由度，非中心引數\(\delta=\mu'\mu=\sum_^n\mu^2_i\) 的 \(\chi^2\) 分布，記為：(推廣)\[x'x\sim\chi^2(n,\delta)\coloror\color\chi^2_(\delta)
\]
如何將一般的正態隨機向量 (協方差矩陣不是單位陣) 轉化成服從 \(\chi^2\)分布。設\(x\sim n_p(\mu,\sigma>0)\),則\(x'\sigma^x\sim\chi^2(p,\delta=\mu'\sigma^\mu)\).
由於\(\sigma\)是正定矩陣，則可以分解為非退化方陣的乘積：\(\sigma=cc'\)，則令 \(y=c^x\)，於是有：【結論很重要】\[y\sim n(c^\mu,c^\sigma(c^)')
\]因為\(\sigma=cc'\)所以，\(y\sim n_p(c^\mu,i_n)\),且有：
\[x'\sigma^x=y'c'\sigma^cy=y'y\sim \chi^2(p,\delta)
\]其中：
\[\delta=(c^\mu)'(c^\mu)=\mu'\sigma^\mu
\]
設\(x\sim n_n(0_n,\sigma^2i_n)\), \(a\) 為對稱矩陣，\(rank(a)=r\) ，則二次型：\(\frac\sim\chi^2(r)\leftrightarrow a^2=a\).
\(\rightrightarrows\)設\(x\sim n_n(\mu,\sigma^2i_n)\)，\(a\)為\(n\)階對稱矩陣，\(b\)為\(m\times n\)矩陣，令 \(\xi=x'ax，z_=bx\) ，若 \(ba=o\) , 則\(bx,x'ax\)因為 \(a\) 是對稱矩陣，所以存在正交陣 \(\gamma\) 使得：
\[\gamma'a\gamma=diag(\lambda_1,...,\lambda_r,0,...,0)\]令
\[y=\gamma'x\sim n_n(0_n,\sigma^2i_n)，x=\gamma y\]則
\[\xi=x'ax/\sigma^2=y'\gamma'a\gamma y/\sigma^2=\sum_^r\lambda_iy_i^2/\sigma^2
\]且\(y_1,...,y_r\)獨立同\(n(0,\sigma^2)\)分布，因此，\(y_i^2/\sigma^2\sim\chi^2(1),(i=1,...,r)\),且相互獨立。
\(\sum_^r\lambda_iy_i^2/\sigma^2\)的特徵函式為：
\[(1-2i\lambda_1t)^(1-2i\lambda_2t)^...(1-2i\lambda_rt)^
\]又因為\(\xi=x'ax/\sigma^2\sim\chi^2(r)\),因此他的特徵函式為：
\[(1-2it)^=(1-2i\lambda_1t)^(1-2i\lambda_2t)^...(1-2i\lambda_rt)^
\]比較得：\(\lambda_1=...=\lambda_r=1\),於是：
\[diag(1,...,1,0,...,0)=\gamma'a\gamma=\gamma'a\gamma\cdot\gamma'a\gamma=\gamma'a^2\gamma
\]所以\(a\)是對稱冪等矩陣。
\(\leftleftarrows\)
對稱冪等矩陣的特徵值非0即1，且只有r個非0特徵值，即：
\[\gamma'a\gamma=\left[\begini_r&o\\o&o\end\right]
\]令\(y=\gamma'x\),則 \(y\sim n_n(0_n,\sigma^2\gamma'i_n\gamma)=n_n(0_n,\sigma^2i_n)\).
\[\frac=\frac=\frac1y'\left[\begini_r&o\\o&o\end\right]y=\frac1\sum_^ry_i^2\sim\chi^2(r)
\]
相互獨立。
順序不能換。設\(x\sim n_n(\mu,\sigma^2i_n)\) , \(a,b\) 為 \(n\) 階對稱矩陣，則：
\[ab=o\quad\leftrightarrow\quad x'ax\,,\,x'bx相互獨立
\]設\(x_\sim n_p(0,\sigma),(\alpha=1,...,n)\)相互獨立，記\(x=(x_,...,x_)'\)為\(n\times p\)維矩陣，則稱
\[w=\sum_^nx_x_'=x'x
\]的分布為\(\colorwishart\)分布，記為：\(w\sim w_p(n,\sigma)\).
一般的，\(x_\sim n_p(\mu_\alpha,\sigma),(\alpha=1,...,n)\)相互獨立，記
\[m=\left(\begin\mu_&\cdots&\mu_\\\vdots&&\vdots\\\mu_&\cdots&\mu_\end\right)=\left(\begin\mu'_\\\vdots\\\mu_'\end\right)
\]則稱\(w=x'x\)服從非中心引數為 \(\delta=m'm=\sum\mu_\mu_'\)的非中心威沙特分布，記為\(w\sim w_p(n,\sigma,\delta)\)。
性質\[a=\sum_^n(x_-\overline)(x_-\overline)'\sim w_p(n-1,\sigma)
\]\[\sum_^kw_i\sim w_p(n,\sigma)
\]其中 \(n=n_1+\cdots+n_k\).
分塊威沙特矩陣：
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