C 資料結構與演算法揭秘14

好久，沒寫blog了，今天，多寫點。

上節說到那裡了，是不是說圖的遍歷，這節，我們來通過圖的具體的應用了。

首先，看看最小生成樹的應用了。什麼是最小生成樹了？

由生成樹的定義可知，無向連通圖的生成樹不是唯一的，對連通圖的不同遍歷就得到不同的生成樹。圖 b 所示是圖 (a)所示的無向連通圖的部分生成樹。

所謂最小生成樹是如果是乙個無向連通網，那麼它的所有生成樹中必有一棵邊的權值總和最小的生成樹，我們稱這棵生成樹為最小代價生成樹(minimum cost spanning tree).

許多應用問題都是乙個求無向連通網的最小生成樹問題。例如，要在 n個城市之間鋪設光纜，鋪設光纜的費用很高，並且各個城市之間鋪設光纜的費用不同。乙個目標是要使這 n個城市的任意兩個之間都可以直接或間接通訊，另乙個目標是要使鋪設光纜的總費用最低。如果把 n個城市看作是圖的 n個頂點，兩個城市之間鋪設的光纜看作是兩個頂點之間的邊，這實際上就是求乙個無向連通網的最小生成樹問題。

由最小生成樹的定義可知，構造有 n個頂點的無向連通網的最小生成樹必須滿足以下三個條件：

（1）構造的最小生成樹必須包括 n個頂點；

（2）構造的最小生成樹有且僅有 n-1條邊；

（3）構造的最小生成樹中不存在迴路。

構造最小生成樹的方法有許多種，典型的方法有兩種，一種是普里姆(prim)演算法，一種是克魯斯卡爾(kruskal)演算法。

一普里姆(prim)演算法

假設 g=（v，e）為一無向連通網，其中，v 為網中頂點的集合，e 為網中邊的集合。設定兩個新的集合 u 和 t，其中，u 為 g 的最小生成樹的頂點的集合，t 為 g 的最小生成樹的邊的集合。普里姆演算法的思想是：令集合 u 的初值為 u=（假設構造最小生成樹時從頂點 u1開始），集合 t 的初值為 t={}。從所有的頂點 u∈u 和頂點 v∈v-u 的帶權邊中選出具有最小權值的邊（u,v），將頂點 v 加入集合 u 中，將邊（u,v）加入集合 t 中。如此不斷地重複直到 u=v 時，最小生成樹構造完畢。此時，集合 u 中存放著最小生成樹的所有頂點，集合 t中存放著最小生成樹的所有邊。

以下圖(a)為例，說明用普里姆演算法構造圖的無向連通網的最小生成樹的過程。

為了分析問題的方便,無向連通網如圖(a)所示。初始時，演算法的集合 u=，集合 v-u=，集合 t={}，如圖(b)所示。在所有 u 為集合 u 中頂點、v 為集合 v-u 中頂點的邊(u,v)中尋找具有最小權值的邊，尋找到的邊是(a,d)，權值為 20，把頂點 b 加入到集合u 中，把邊(a,d)加入到集合 t 中，如圖 (c)所示。在所有 u為集合 u 中頂點、v 為集合 v-u 中頂點的邊(u,v)中尋找具有最小權值的邊，尋找到的邊是(d,e)，權值為 10，把頂點 e 加入到集合 u 中，把邊(d,e)加入到集合 t 中，如圖(d)所示。隨後依次從集合 v-u 中加入到集合 u 中的頂點為 b、c，依次加入到集合t中的邊為(a,b)（權值為 60）、(e,c) （權值為 70），分別如圖 (e)、(f)所示。最後得到的圖(f)所示就是原無向連通網的最小生成樹。

本書以無向網的鄰接矩陣類 netadjmatrix來實現普里姆演算法。netadjmatrix類的成員欄位與無向圖鄰接矩陣類 graphadjmatrix的成員字段一樣，不同的是，當兩個頂點間有邊相連線時，matirx 陣列中相應元素的值是邊的權值，而不是 1

無向網鄰接矩陣類 netadjmatrix源**的實現如下所示：

public
class netadjmatrix: igraph//繼承與圖形的介面 
//獲取索引為index的頂點的資訊    演算法的時間複雜度是o(1)
public nodegetnode(int
index) 
//設定索引為index的頂點的資訊  演算法的時間複雜度是o(1)

public
void setnode(int index, nodev)
//邊的數目屬性 可讀可寫的屬性
public
intnumedges 
set }
//獲取matrix[index1, index2]的值 演算法的時間複雜度是o（1）
public
int getmatrix(int index1, int
index2)
//設定matrix[index1, index2]的值 演算法的複雜度是o(1)
public
void setmatrix(int index1, int index2, int
v)  
//獲取頂點的數目 演算法的時間的複雜度是o(1)
public
intgetnumofvertex()  //
獲取邊的數目 演算法的時間的複雜度是o(1)
public
intgetnumofedge() 
//v是否是無向網的頂點 
//如果包含這個頂點  返回為真，否則返回為假。
//由於這是一層迴圈，演算法的複雜度是o(n)
public
bool isnode(nodev) 
} return
false
;         } 
//獲得頂點v在頂點陣列中的索引 
//  如果相等，返回相應的索引。
//由於是一層迴圈，時間的複雜度是o(n)
public
int getindex(nodev) 
} return
i;         } 
//在頂點v1、v2之間新增權值為v的邊 
//新增相應的權值的v的邊，  這是乙個對稱矩陣。
public
void setedge(nodev1, nodev2, int
v)          
//矩陣是對稱矩陣 
matrix[getindex(v1), getindex(v2)] =v; 
matrix[getindex(v2), getindex(v1)] =v; 
++numedges; 
} //刪除v1和v2之間的邊 
// 刪除對稱矩陣。
public
void deledge(nodev1, nodev2) 
//v1和v2之間存在邊 
if (matrix[getindex(v1), getindex(v2)] != int
.maxvalue) 
} //判斷v1和v2之間是否存在邊 
//判斷相應  不是 最大值  返回為真 否則 為假 演算法的時間複雜度o(1)
public
bool isedge(nodev1, nodev2) 
//v1和v2之間存在邊 
if (matrix[getindex(v1), getindex(v2)] != int
.maxvalue) 
else  
//v1和v2之間不存在邊 
} }

具體如圖所示：

為實現普里姆演算法，需要設定兩個輔助一維陣列 lowcost和 closevex， lowcost用來儲存集合 v-u 中各頂點與集合 u 中各頂點構成的邊中具有最小權值的邊的權值；closevex 用來儲存依附於該邊的在集合 u 中的頂點。假設初始狀態時，u=（u1為出發的頂點），這時有 lowcost[0]=0，它表示頂點 u1已加入集合 u中。陣列 lowcost 元素的值是頂點 u1 到其他頂點所構成的直接邊的權值。然後不斷選取權值最小的邊(ui,uk)(ui∈u,uk∈v-u)，每選取一條邊，就將 lowcost[k]置為 0，表示頂點 uk 已加入集合 u 中。由於頂點 uk 從集合 v-u 進入集合 u 後，這兩個集合的內容發生了變化，就需要依據具體情況更新陣列lowcost和closevex中部分元素的值。把普里姆演算法 primnetadjmatrix類的成員方法，實現的源**如下：

public
int prim() 
//某個頂點加入集合u 
lowcost[0] = 0
;         closevex[
0] = 0
; //判斷最小的權值通過的頂點的迴圈就此開始
for(int i=0; ii) 
++j; 
} //新頂點加入集合u 
lowcost[k] = 0;  
//重新計算該頂點到其餘頂點的邊的權值    
for (j = 1; j < nodes.length; ++j) 
} } 
return
closevex; 
} //我們明顯的看出來，由於用到了雙重迴圈，其演算法的時間的複雜度是o(n^2)

具體實現，如圖所示：

在普里姆演算法中，第乙個for迴圈的執行次數為n-1，第二個for迴圈中又包括了乙個while迴圈和乙個for迴圈，執行次數為 2(n-1)2，所以普里姆演算法的時間複雜度為o(n2)。

這節，我們隊圖的引用做了乙個拋磚引玉的介紹，主要是普利姆演算法，解決最小生成樹問題。下節，我們介紹一下克魯斯卡爾演算法解決最小生成樹的問題，和其他的應用。對圖做乙個總結等等。

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