這是我很久以前寫的乙份文件,現在貼到這裡.
我們討論問題的框架是$\mathbb}^n$.
定義:$p=(p_1,\cdots,p_n)\in \mathbb^,\mbox\$稱為點$p$的$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$-附近.簡記為$\mho_(p)$.
定義:對於$s\subseteq \mathbb^$,1.$p$稱為$s$的內點,如果存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_(p)\subseteq s$.
2.$p$稱為$s$的邊界點，如果對於任意正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,$\mho_(p)\not\subseteq s$，且$\mho_(p)\bigcap s\neq\emptyset$.
3.$p$稱為$s$的外點，如果存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_(p)\bigcap s=\emptyset$.
顯然$p$與$s$的關係有且僅有上述3種關係之一.
定義:$p$是$s$的聚點，當且僅當$p$是$s$的極限點.如果屬於點集s的點不是聚點，則稱它為孤立點.
可以看到，乙個點集$s$的邊界點$q$,$q$可以屬於$s$，這時，$q$可能是聚點也可能是孤立點,而且只有這兩種可能.$q$可以不屬於$s$,這時$q$只可能是聚點.
定義:開集的下面兩種定義是等價的.1.乙個點集，當所有屬於它的點都是內點時,該點集叫開集.定義等價性是顯然的.2.乙個點集，它的所有邊界點都不屬於該點集時，該點集叫開集.
顯然乙個點集是閉集的充要條件是該點集包含了該點集的所有聚點.平面上的點集並非只有開集和閉集兩種，實際上，開集和閉集只是兩種極端情況：開集是所有邊界點都不包括，閉集是所有邊界點都包括.而顯然平面上的某些點集只包含它的一部分邊界點.定義:$s$是閉集當且僅當它包含了所有邊界點.
幾個重要結論
定理1:$s\subseteq \mathbb^$,若$s$是開集，則$\mathbb^-s$是閉集.若$s$是閉集，則$\mathbb^-s$是開集.
證明:若$p$是$s$的邊界點，則易得$p$也是$\mathbb^n-s$的邊界點.若$q$是$\mathbb^n-s$的邊界點，則$q$也是$s$的邊界點.可見，邊界若完全被其中一方擁有，則另一方則完全不擁有，定理得證.當然,也可能存在這樣的情況,即 $s$根本沒有邊界點,此時 $\mathbb^n-s$也沒有邊界點,此時,$s$和$\mathbb^n-s$都是既開又閉的.
定理2:兩個開集的並集是開集
證明:設$a$,$b$是開集，$x\in a\bigcup b$,那麼$x$不是a的內點就是b的內點,所以總會是$a\bigcup b$的內點.
注1:實際上,無限個開集的並集也是開集.證明十分容易，可以直接由無限個集合的並的定義入手：設$p$是這無限個開集的並集$k$中的一點，則$p$屬於其中至少乙個開集.設這個開集為$a$.則存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_(p)\subseteq a\subseteq k\box$.
定理3:兩個閉集的交集是閉集.
證明:以$\mathbb^n$為全集，「兩個閉集的交集」的補集為「兩個開集的並集」.而我們知道兩個開集的並集是開集，所以兩個閉集的交集是閉集.
定理4:兩個開集的交集是開集.注2:無限個開集的交集不一定是開集.例項：$(-1,2),(-\frac,1+\frac),\cdots,(-\frac,1+\frac),\cdots$這無限個開集相交，是閉集$[0,1]$.
證明:兩個開集$s,k$的交集中的任意一點$p$，必定是其中每乙個開集的內點.這意味著存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$和$\delta_1,\cdots,\delta_n$使得
$\mho_(p)\subseteq s.\mho_(p)\subseteq k.$則\\$\mho_,\cdots,\min\}(p)\subseteq s\bigcap k$.所以$p$也是$s\bigcap k$的內點.
定理5:兩個閉集的並集是閉集
證明:根據摩根律，以$\mathbb^n$為全集，則「開集的交集」的補集是「閉集的並集」.因為開集的交集是開集，而開集的補集是閉集.
注:上面的每句話都可以幾乎一字不變地推廣到一般的度量空間.
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