目錄應用
單調棧是一種演算法， 它可以用一次掃瞄 \(o(n)\) 時間求出序列中每個數向左和向右的第乙個大於它的數， 也可以用一次掃瞄 \(o(n)\) 時間求出序列中每個數向左和向右的第乙個小於它的數。
以大於為例：
用單調棧求左邊第乙個大於的數：
有數列\(\big\)。
對於乙個數 \(a_i\) 前面的兩個數 \(a_p,a_q, \quad p， 若 \(a_p， 則對於所有 \(j\ge i\)， \(a_p\) 都不可能成為 \(a_j\) 的答案。
單調棧就是對於每個數維護可能成為其答案的下標集合， 然後從裡面快速選出答案。
具體地， 演算法流程是：
一、 從左到右掃瞄數列， 開乙個空棧 \(stk\)， 棧頂為 \(stk[tp]\)
二、對於每個數 \(a_i\)，
在棧不為空且 \(stk[tp] \le a_i\) 的時候使棧不斷 \(pop\)
停止 \(pop\) 後， 若棧不為空， \(stk[tp]\) 就是 \(a_i\) 左邊第乙個大於其的數， 否則 \(a_i\) 左邊沒有大於其的數。
將 \(a_i\) 加入到棧頂
從以上演算法可以看出， 每個數 \(a_i\) 都是會被加入棧裡的， 那麼在以後的掃瞄過程中， 讓 \(a_i\) 從棧中彈出的那個數一定就是 \(a_i\) 右邊第乙個大於其的數， 若自始至終 \(a_i\) 沒有被彈出， 則 \(a_i\) 右邊沒有大於其的數。
至此， 可以用單調棧一次掃瞄求出每個數左邊和右邊第乙個大於其的數， 對於小於， 只需簡單地魔改一下演算法就可以了， 用到的理論也是高度類似的
需要證明的僅僅是求左邊第乙個大於的數的正確性， 懂的都懂。
那麼對於每個數 \(a_i\)， 在演算法流程掃瞄到 \(a_i\)， 執行到二-2的時候， 為什麼能直接確定答案？
首先可以確定棧中沒有不可能成為當前數的答案的數 (當然也沒有不可能成為以後數的答案的數)， 此時選棧頂， 即最靠近當前數的數， 就是答案。
假設掃瞄到 \(a_i\),
用歸納法證明到步驟二-1之前，棧中沒有不可能成為 \(a_i\) 答案的數， 所有可能成為 \(a_i\) 答案的數都在棧中。
用歸納法證明到步驟二-1之前，從棧底到棧頂是乙個單調遞減的數列， 這就可以證明執行完步驟二-1之後棧頂就是答案
可以用歸納法證明， 對於數列 \(\big\)， 在使用基本演算法求每個數的左邊的第乙個大於其的數時， 對於當前掃瞄的數 \(a_i\)， 單調棧實際上是維護的數列 \(\big_\) 的字尾最大值（從棧頂到棧底， 就是 \(max(a[i\cdots i])、max(a[i-1\cdots i])、\cdots、max(a[1\cdots i])\) 去重後的結果）。
於是在單調棧的過程中， 可以見到整個數列所有子串的最大值， 至於有多少應用嘛……不知道。
求 \(\sum_^n\sum_^n max(a_)\)。
根據上面的更深一點的應用單調棧 \(o(n)\) 搞， 很不錯。
還可以列舉所有 \(a_i\)， 算出 max 是 \(a_i\) 的區間有多少個， 這個也可以用單調棧求出來。
\(f(x,y) = \sum_^y\sum_^y max(a_)\)
\(q\) 次詢問不同的 \(f(x,y)\)
要求 \(o((n+q)\log n)\)。
似乎不太可做， 待補。
給定數列 \(a\) ， 求 \(max\*(a_r-a_l)\) 的最大值。
列舉 \(max\\)， 再討論一下， 就做完了。（用 st表 可以做到 \(o(n\log n)\)）
如果把 \(a_r-a_l\) 換成 \(r-l+1\)， 可以做到 \(o(n)\)。
給定數列 \(a\)， 求有幾對 \((x,y)\) 滿足：
\(max(a[x+1\cdots y-1]) \le min(a[x],a[y])\)。
順便可以求出具體方案。
單調棧求左邊第乙個大於的數的過程中， 被乙個數彈掉的所有數以及此數的答案， 就是所有可以使這個數作為 \(y\) 的 \(x\)。
這樣的對數是 \(o(n)\) 的。
順便如果把題目中式子的小於等於號改成小於號， 此演算法也能勝任， 而且針對小於號還有一種其它的演算法：
所有 \((x,y)\) 都是某乙個數的 \((左邊第乙個大於的，右邊第乙個大於的)\)。
給定矩陣， 求面積最大的和 \(>0\) 的子矩陣。
首先列舉上下邊界壓縮一維（就像求最大子矩陣和一樣）。
然後問題就變成了在乙個數列中， 對於每個數求出最左邊的小於其的數。
當然這並不是單調棧， 但是比較像單調棧。（其實是維護了字首最小值）
總複雜度 \(o(n^3\log n)\)
演算法 單調棧
單調棧 從左往右進行遍歷，如果棧頂元素大於等於當前的元素，直接出棧 while 迴圈 退出while 迴圈兩個條件，棧空，或者棧不為空，此時棧頂元素小於單前元素 if 如果棧不為空，表明棧頂元素小於當前元素，將棧頂元素儲存在當前元素對應下標的陣列中 從右邊向左進行遍歷 while 如果棧頂元素大於當...
單調棧演算法筆記
定義 單調棧就是棧內元素遞增或者單調遞減的棧，並且只能在棧頂操作。單調棧的維護是o n 的時間複雜度，所有元素只會進進棧一次 性質 單調棧裡面的元素具有單調性 元素加入棧前會把棧頂破壞單調性的元素刪除 使用單調棧可以找到元素向左遍歷的第乙個比他小的元素 單增棧 也可以找到元素向左遍歷第乙個比他大的元...
演算法 單調棧專題
單調棧是一種理解起來很容易，但是運用起來並不那麼簡單的資料結構。一句話解釋單調棧，就是乙個棧，裡面的元素的大小按照他們所在棧內的位置，滿足一定的單調性。題目是這樣的，給乙個陣列，返回乙個大小相同的陣列。返回的陣列的第i個位置的值應當是，對於原陣列中的第i個元素，至少往右走多少步，才能遇到乙個比自己大...