演算法實戰（五）最長回文子串

今天開始第五題，求最長回文子串。不知不覺已經堅持到第五天了，往往在這個時候最容易大易，所以我們不能鬆懈，堅持就能走向成功。

題目：給定乙個字串 s，找到 s 中最長的回文子串。你可以假設 s 的最大長度為 1000。

示例1：輸入: "babad"

輸出: "bab"

注意: "aba" 也是乙個有效答案。

首先我們要明白什麼是回文字串，回文是乙個正讀和反讀都相同的字串，例如，「aba」是回文，而「abc」不是。

1）暴力破解法：首先看到這道題目，我最開始的思路就是用暴力破解法，首先拿到字串的所有字串，然後判斷字串是不是回文，最終找出最長的回文字串。但是拿到所有的子串所需要的時間複雜度是o（n^2）,而判斷乙個字串是不是回文字串所需要的時間複雜度是o（n）,所以暴力法的時間複雜度是o（n^3）,不用想都知道leetcode上面肯定通過不了，於是我做了一些修改，去除了大部分不需要的判斷。話不多說，**如下：　

1
class
solution 7//
定義開始指標，用來指向回文的開始位置
8int begin = 0;9//
定義結束指標，用來指向回文的開始位置
10int end = 0;
11//
外層迴圈，遍歷每乙個字元
12for(int i = 0; i < s.length(); i++)
22//
判斷頭到index之間是不是回文的，如果是回文，計算差值是否大於全域性變數頭尾位置的差值
23if(checkstr(s, i, index) && index - i > end -begin)
29//
如果本次頭與index直接的距離已經小於全域性頭尾距離了，沒必要往下找了，直接跳出
30if (index - i < end -begin)
33//
更新j的值，繼續找j之前對應的字元位置
34                 j = index - 1;35}
36}37return s.substring(begin, end + 1);38}
3940
//判斷乙個字串在【i，j】上是不是回文的
41public
boolean checkstr(string s, int i, int
j)46             i++;
47             j--;48}
49return
true;50
}51 }

2）上面那種方法可以通過測試，但是耗費的時間還是太長了。官方的解法應該是要使用動態規劃，但是本人是乙個演算法渣渣，還不會這種演算法，容我先去學習一天，明天補上，謝謝大家

動態規劃的學習篇章已經補上了：如果大家和我一樣對dp不是很熟係的可以先學習一下，接下來我們就按照這篇文章中的解題步驟來進行解題。解乙個dp的題，我認為首先是要定義好乙個狀態，然後再根據狀態來驗證是否滿足最優子結構和子問題重疊的性質，都滿足後進而推出狀態轉移方程。

1.狀態：f（i，j）：表示以第i個字元開頭，以第j個字元結尾的字元的回文長度，如果是回文字元，則就是i到j之間的長度，如果不是回文字串則是0.

2.定性：最優子結構：我們知道了f（i,j）的長度，如果不為0的話，我們就可以推出f（i+1，j-1）的長度，能夠通過子問題的解得到原問題的解，滿足最優子結構。

重疊子問題：我們計算f（2，6）的時候，需要用到f（3，5）的解，計算f（3，5）的時候，需要使用到f（4，4）的解，如果不將f（3，5）的解儲存下來，f（4，4）會被重複計算，滿足重疊子問題。（重疊子問題不是dp解法的必要條件，但是有了重疊子問題這個性質，我們使用dp解這個題才有了優勢）

3.狀態轉移方程：狀態轉移方程的情況比較多，從這兩種不同的情況來看

1）當第i個字元和第j個字元相同時， f（i，j）= 1 （j - i = 0時，乙個字串就是長度為1的回文字串）

2 （j - i = 1 ，兩個相鄰並且相同的字串就是長度為2的回文字串）

f（i+1， j - 1）+ 2 ，（當j - i > 1 並且f（i+1， j - 1）不為0時）

0 （j - i 》1 並且f（i+1， j - 1）為0時，子串的都不是回文字串，該字串也不是回文字串）

2)當第i個字元和第j個字元不相同時，f（i，j） = 0；

4.輔助空間，使用乙個二維陣列來儲存解

**如下：

1
class
solution 7//
用來儲存最大回文字串的開頭位置和結尾位置
8int begin = 0;
9int end = 0;
10//
二位陣列儲存解
11int arr = new
int[s.length()][s.length()];
12for (int j = 0; j < s.length(); j++)else
if (j - i == 1)else
22                 }else
25//
將每一次的結果與begin和end的差值進行比較，如果大於，則進行替換，這樣計算完成後，儲存的就是最大值了
26if (arr[i][j] > end - begin + 1)30}
31}32return s.substring(begin, end + 1);33}
34 }

在我們分析完狀態轉移方程後，編寫**就是一件比較簡單的事了，在我個人看來，比較難理解的地方是兩次for迴圈本身的條件，為什麼內層迴圈是到i 《= j 的判斷條件，這個又要和我們的狀態扯上關係。狀態f（i，j）是要求字串以i開頭以j結尾時回文字串的長度，而我們在計算它的值時，需要用到 i 到 j 中間的子串的解，所以我們要先計算出這些解，才能將j往後移動。（ps：我不知道這樣解釋能不能看明白，要是還不明白的小夥伴可以在紙上畫一畫，就很清晰了）。這就是今天這個題的解法，大家有什麼不明白的，或者有其他的高見，歡迎一起**交流，謝謝！

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