從DFS到記憶化DFS到動態規劃

什麼是動態規劃？

動態規劃（dynamic programming）是通過組合子問題的解來解決問題的。動態規劃是用於求解包含重疊子問題的最優化問題的方法。其基本思想是，將原問題分解為相似的子問題。在求解的過程中通過子問題的解求出原問題的解。

動態規劃的分類：

1. 線性規劃：攔截飛彈，合唱隊形，挖地雷等。

2. 區域規劃：石子合併，加分二叉樹，統計單詞個數等。

3. 樹形動規：貪吃的九頭龍，二分查詢樹，聚會的歡樂等。

4. 揹包問題：01揹包問題，完全揹包問題，分組揹包問題，裝箱問題，擠牛奶等

5. 除此之外還有插頭dp，按位dp，狀態壓縮dp等等。

入門題目：數字三角形

題目描述：給出了乙個數字三角形。從三角形的頂部到底部有很多條不同的路徑。對於

每條路徑，把路徑上面的數加起來可以得到乙個和，你的任務就是找到最大的和。

如：3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

分析一下為什麼不能使用貪心演算法，即每一次走都走下一行的兩個數值較大的。因為有可能在某一步的時候數值小沒走到，但是該路徑下面有較大的數值，就不會走到，就得不到最大的值。

1.樸素dfs搜尋演算法

可以採用樸素的深度優先搜尋演算法，即樸素dfs。每一次走都分為兩步，第一步求出走下一步時走的最大值，然後加上此步的數值。

int dfs(int x,int y) //

表示從第x行，第y個數往下走可以得到的最大價值和，dfs（0,0）即為本題解。

完整的**示例為：

#include
using
namespace
std;
int num[5][5] = ;
int numcount = 5; 
int dfs(int x,inty) 
intmain()

這個演算法效率極低，為什麼呢？因為其中有大量的重複計算。通常遞迴都會有大量的重複計算。

2.dfs+記憶化搜尋方法

針對於上述dfs演算法的重複計算，我們可以先將dfs（x，y）的結果儲存起來，等到下次需要時，直接使用。這就是記憶化搜尋。

int dfs(int x,int
y)

完整的**示例為：

#include
using
namespace
std;
int num[5][5] = ;
int numcount = 5
;int result[5][5]; 
int dfs(int x,inty) 
intmain()

不論是dfs還是記憶化dfs都是基於遞迴的思想進行計算。總結一下實際操作的特點。

（1）搜尋的引數只有（x，y），每一對（x，y）確定乙個狀態。

（2）搜搜的轉移是從（x+1，y）和（x+1，y+1）到（x，y）的，意思就是我們通過（x+1，y）和（x+1，y+1）的解去求（x，y）。

於是，設想：如果不用dfs，直接用陣列儲存狀態，在狀態與狀態之間實現轉移。

for(int i = numcount - 1; i >= 0; i--)
for(int j = 0;j <= i; j++)
result[i][j] = max(result[i+1][j],result[i+1][j+1]) + num[i][j];

完整的程式示例為：

#include
using
namespace
std;
int num[5][5] = ;
int numcount = 5
;int result[6][6]; 
intmain()

總結：搜尋的引數只有（x，y）。每一對（x，y）確定乙個狀態。我們通過（x+1，y）和（x+1，y+1）的解去求（x，y），於是我們可以設計出狀態並明確狀態的轉移，從而寫出狀態轉移方程。這就是動態規劃！！！！

摘自：