從hihoCoder的一道題學習狀態壓縮 dp

有1個n*m的盤子,要裝2*1的蛋糕,問有多少種方法?(結果對1000000007取餘,其中2≤n≤1000,3≤m≤5)

最簡單的例子如下:

下面我們來分析：

這個題目類屬於狀態壓縮dp，對於狀態壓縮dp，其實最簡單的理解就是把狀態用位元位的形式表示出來，我們會在下面用例子來說明。

假如現在我們在鋪磚位置(i,j), 並且假設之前的位置已經鋪設好的了，在這個位置，我們的選擇：

1. 不用鋪磚了，可能在(i-1, j)的時刻已經被豎著鋪上了，然後考慮的是（i， j+1）

2. 橫鋪磚，將(i, j+1）也鋪上了，然後考慮的是(i, j+2)。

3. 豎著鋪磚，（將i，j）和（i+1，j）鋪上乙個豎立的轉頭。

所以我們如下翻譯我們的選擇，在位置(i, j) 如果我們選擇橫著貼磚，那麼將(i, j), (i, j+1)都填寫成1，如果豎著貼磚，我們將(i,j)填寫成0，將(i+1, j)填寫成1.

問題1：為什麼要這麼計數呢，我覺得應該這樣理解：

1. 在橫著貼磚的時候，(i, j), (i, j+1) 都是1，這個值其實對下一行如何選擇沒有影響。

2. 豎著貼磚的第二個，我們也選擇了1，因為這個磚頭結束了，對下一行如何選擇依然沒有影響。

3. 而豎著的第乙個磚頭，這個磚頭是對下面有影響的，如果(i,j)是0，那麼(i+1,j)只有是1的情況下才能滿足條件。

即當設為1表示對下一行沒有任何影響了。

問題2：如何判斷當前狀態與上一行的狀態是否相容

其實我們在上面已經基本給出分析，如果我們現在鋪設 (i,x) x這裡表示第i行，第x列

1. 如果值 i 行，j 在x位上的值是0，那麼第 i-1行，j的值在x位上一定是1。因為不可能在同一列相鄰的位置鋪兩個豎著的第乙個，如果滿足下一步測試的是(i, x+1), 否則直接返回不相容。

2. 如果值 i 行，j在x位置的值是1 .

那麼有可能有兩種情況：

1. (i-1, x)是0，這個時候一定是豎著鋪設了，下一步檢測的是(i, x + 1)

2. (i-1, x) 是1，如果是這樣的話，那麼(i,

x)一定是要選擇橫著鋪了，那麼(i,x+1)也一定是1，並且(i-1,x +

1)一定是1（如果是0，就是豎著鋪了），如果不滿足就返回不相容，滿足條件就測試(i,x + 2)

對於第一行的相容性，我們要做一下特別的分析，在第一行中，要麼放0，要麼放1。

加入當前測試的是 dp(0, j)的第 x的位元位，即第0行，x列

1. 如果x是1，那麼 x + 1 也一定是1，然後測試到 x + 2

2. 如果x是0，那麼直接測試下乙個 x + 1

特別注意：這裡的判斷的(i,x)一定不是由(i,x-1)位橫著鋪磚過來的，否則直接x=x+2,就不會來判斷(i,x)位了。

問題3：為什麼可以使用動態規劃演算法來解決這個問題？

這就得從動態規劃的特性上去找：

(1)最優子結構

用f[i][j]表示第i行j狀態鋪磚塊的方案數，一定等於i-1行所有的能與狀態j相容的狀態k的方案的總和。

(2)重複子問題

求f[i][j]即第i行的每乙個狀態一定要用到第i-1行的各個狀態。

問題4：從狀態壓縮的特點來看，這個演算法適用的題目符合以下的條件：

1.解法需要儲存一定的狀態資料（表示一種狀態的乙個資料值）

，每個狀態資料通常情況下是可以通過二進位制來表示的。這就要求狀態資料的每個單元只有兩種狀態，比如說棋盤上的格仔，放棋子或者不放，或者是硬幣的正反兩面。這樣用 0 或者 1 來表示狀態資料的每個單元，而整個狀態資料就是乙個一串 0 和 1 組成的二進位制數。

2.解法需要將狀態資料實現為乙個基本資料型別，比如int，long等等，即所謂的狀態壓縮。狀態壓縮的目的一方面是縮小了資料儲存的空間，另一方面是在狀態對比和狀態整體處理時能夠提高效率。這樣就要求狀態資料中的單元個數不能太大，比如用

int 來表示乙個狀態的時候，狀態的單元個數不能超過 32（32 位的機器）。

//注:j&(1
#define swap(a,b) a=b-a+(b=a)
#define false 0
#define true 1
int testfirstline(int j,int m){
int i=0;
while(i
參照: