演算法如何理解遞迴，寫好遞迴函式

不是每個程式設計師天生對遞迴理解深刻，剛入大一時候，當別人寫出第乙個求最大公約數的遞迴函式時，對其多麼的驚嘆，竟然可以不用迴圈，竟然**可以這麼簡潔，確實遞迴在大多數情況下實現時候**很短，大部分人也知道遞迴，也能基本看懂遞迴，可是卻經常不知道怎麼寫，或者寫出來的遞迴經常死迴圈，寫演算法往往也是學的是套路，只有極少數人是創造演算法的，大部分人是用演算法的，而遞迴是確實有套路可循的。

本文即從遞迴的扎馬步開始，從幾個簡單例子到通用套路，一步一步拆解遞迴

寫遞迴，就是寫三要素的實現，三要素分別為函式，邊界，遞推公式，剛開始只要記住要這麼寫，寫幾個演算法之後，就能慢慢明白為什麼要這樣搞。

明確你的函式是幹什麼用的，函式的入參應該是什麼，返回值是什麼，這三個問題，先從函式是幹什麼用的開始，你可以定義乙個函式f()假設已經實現了每一步遞迴的實現，再去明確這個實現到底做了什麼，入參至少要什麼，返回值和引數返回可以理解為是乙個東西，都是為了返回給上層呼叫或者全域性的乙個資料，想清楚函式的三個要素，那你的函式就定義好了。

同樣，先這樣去做，再去想為什麼，這一步要判斷的就是函式的入參，入參的null，入參為初始值，比如斐波那契數列的前1位或者2位，開始時候可能不一定想的完全，那沒關係，下面的一步還會繼續完善，所以我這裡舉得例子是斐波那契的前1或2位，而不是直接說結論，這一步驟是在函式的實現裡面，所以考慮方式就是假設，入參到了臨界值或者初始值，或者特殊值，你要判斷一下，第一遍寫的時候比如斐波那契，可以直接這麼寫

if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 1;

想到的不一定完全對，或者那麼地很優雅，沒關係，只要想到要考慮邊界就可以了。下面就是想邊界的意義是什麼？有兩點，其一，異常值邊界，其二遞迴結束判斷，比如此題中的n < 0 怎麼辦，和n == 1和n == 2就分別對應前面說的，當然這兩點可能考慮不那麼完全，假設你只考慮了像前面**中的，或者寫邊界時候發現寫的多了，或者冗餘了，這樣不影響程式的結果，那麼寫完遞推公式，我們再來回顧邊界問題。

這個就要先談意義，再談實現了，意義在於逐漸減少演算法的規模，或者定義一種方式讓輸入的值盡可能地靠近臨界值，也就是找乙個關係f(n)與f(n-x)序列的關係，f(n)代表要解決的問題規模，f(n-x)比n小的問題規模的函式值，這是遞迴函式中的關鍵一步，沒有遞推公式，就沒有遞迴。例如斐波那契序列，中的遞推公式是f(n)=f(n-1) + f(n-2)我們來觀察這個公式，發現其第n於n-1和n-2有關係，所以我們來看，如果輸入任何整數，那麼n-1,n-2可能取值是負數，0，1+，可以看到邊界0和負數沒有考慮在內，所以，這時回顧前面1.2 的遞迴，我們來補充一下邊界後得到：

if (n <= 2)
return 1;

下面通過三個簡單例子，我們來練習使用遞迴，分別是青蛙跳台階問題，等同於斐波那契序列，遞迴方式反轉單鏈表，遞迴遍歷樹，以及針對三個

第一定義函式,明確函式只有乙個唯一的輸入值n，第二找到遞迴結束條件或者遞迴邊界，可以發現當台階是1或者2時候最容易得到，至於遞推式，可以發現青蛙在每次跳的時候有兩種跳法，那青蛙怎麼到達第n個台階，就是有兩種跳法，分別對應f(n-1)和f(n-2)，所以遞迴式就是f(n)=f(n-1)+f(n-2),那麼整個演算法就是如下：

//乙隻青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上乙個n級的台階總共有多少種跳法。
//1。定義函式
public int f2(int n)

繼續檢查邊界，發現n如果小於1，就會陷入死迴圈，那麼程式可以改成這樣：

if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
if (n < 1)
return 0;
//當然簡單寫，可以這樣搞
if (n < 1)
return 0;
if (n <= 2)
return n;

單鏈表的反轉，一般考慮到是雙指標反轉，當然遞迴寫也可以，同樣，首先定義函式，發現函式只有乙個入參即節點node這個node在根節點或者任意中間節點都適用，其二確定邊界，在反轉單鏈表時候，可能會漏了node.next的邊界，此時兩種方式，1，冗餘寫，只要你考慮到了，這可能是邊界，你多寫了絕對不會錯，甚至，你可以多寫兩到三步也完全沒問題，2，少寫的話，就寫完遞迴方式再來檢查，比如反轉單鏈表這個題，你會看到如果node.next為空，那麼node.next.next就會報空指標問題，一般寫完遞迴式後最好回頭檢查一下邊界，可以查缺補漏，去冗餘或者補條件。

此題的核心點是解開鏈的遞迴式，就是

node last = f3(node.next); //假設當前節點的下一節點後的鍊錶已經反轉 node.next.next = node; //當前節點指向的節點指向當前節點 node.next = null ;//原來當前節點是指向下一節點的，解開當前節點，並把節點指向空 //此處解釋，為什麼指向空，首先可以將node節點理解為第乙個節點，那麼第一節點反轉後，就是最後乙個節點，則指向是null，否則它還是指向2，就有問題喲 //那麼如果不是第乙個節點呢？這個指標是怎麼指向的

舉個例子，假設，單鏈表是1，2，3，4，5那麼遞迴的過程如下圖:

看圖，可以發現每一步的當前節點，放入反轉鍊錶後，都是最後乙個，那它必然指向null這樣懂了把！

class node 
public node f3(node node)

遞迴遍歷樹也是最簡單的，假設你之前沒有看過遍歷的**，那麼從零來開始考慮這個問題，首先定義函式，確認入參和單鏈表反轉類似，只需要乙個treenode節點，然後考慮邊界為null，和不為null，你首先想到是不是這樣？

if (node == null)
return ;
if (node.left == null && node.right == null)

現在看起來是有點冗餘，但是假設你並不知道，那麼接下來下遞迴式，以先序為例

//首先節點本身
system.out.println(node.val);      
//然後節點左
preorder(node.left);      
//然後節點右 
preorder(node.right);

就這樣完了，然後回顧前面的邊界問題，只有上面的**兩行，可以看到在節點為null的時候，就直接return了，不用考慮子節點，字節點的邊界在父節點的邊界中已經考慮到了，當然寫了這條邊界完全不影響程式執行哦，所以最終的前中後序遍歷如下**：

//二叉樹前序遍歷
public static void preorder(treenode node) 
//二叉樹中序遍歷
public static void inorder(treenode node) 
//二叉樹後序遍歷
public static void postorder(treenode node)

下面，我們補乙個遞迴演算法題，輸入乙個二叉樹序列，來還原構造二叉樹，順便測試一下前面的遍歷樹的**，同樣熟悉了遞迴的套路後，我們直接來寫**

//1.定義函式確認，只需要乙個引數，即剩餘序列
public static treenode createbinarytree(linkedlistinputlist) 
return node;
}    public static void main(string args) ));
treenode node = createbinarytree(inputlist);
//前序遍歷
system.out.println("前序遍歷：");
preorder(node);
}

如何寫好遞迴，就三步，首先確認函式的輸入值，返回值，即函式本身要做什麼功能。其次，判斷邊界，將可以想到的邊界都寫一下。最後寫遞迴體，包括函式返回值，然後回去檢查邊界，對邊界增刪改查。

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