快排與堆排

本文複習一下快速排序和堆排序 2 種排序演算法（為了多快好省地刷 leetcode ）。

主要思想：

通過一趟排序將要排序的資料分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有資料都比另外一部分的所有資料都要小，然後再按此方法對這兩部分資料分別進行快速排序，整個排序過程可以遞迴進行，以此達到整個資料變成有序序列。

時間複雜度 $o(n \log n)$ ，空間複雜度取決於是否使用遞迴實現。

**實現：

int partition(vector&v, int p, int r)
swap(v[i + 1], v[r]);
return i + 1;
}void quicksort(vector&v, int p, int r)
}

對partition函式的**（圖源為《演算法導論》）：

在這裡的實現，我們缺省區間的最右側v[r] = 4為主元，將上面所示的陣列分為 2 部分，左側小於等於 4，右側大於 4 。下面是函式中幾個臨時變數所表示的含義：

堆的性質：

子結點的鍵值總是小於（或者大於）它的父節點。

三個步驟：

**實現：

class heap
inline int getright(int x) 
void heapify(vector&v, int idx)
void buildheap(vector&v)
public:
void heapsort(vector&v)}};

heapify函式**如下圖所示。需要注意的是，圖中陣列下標是從 1 開始的，而上面的**實現是從 0 開始的。

時間複雜度 $o(\log n)$ .

在表示堆的陣列中，範圍 $\lfloor n/2 \rfloor $ 到 $n-1$ 是葉子節點（下標從 0 開始），對於葉子節點，自然而然會滿足堆的性質，對葉子節點呼叫heapify絲毫沒有影響，因此不需要調整。這就是為什麼for迴圈的範圍是size/2 -> 0。

時間複雜度為 $o(n)$ .

呼叫buildheap後的陣列，是乙個大頂堆，所以v[0]是最大的數字，我們把它交換到陣列的最末尾處。然後對[0, heapsize)範圍內的數字進行heapify，因為影響的只有位置 0 ，所以只需要呼叫一次heapify(v, 0)就能使得陣列滿足堆的性質。

時間複雜度 $o(n\log n)$ .

heapsort的**如下：