古往今來，人類一直痴迷於研究自然界中的對稱性。在我們周圍的世界中，對稱的事物比比皆是，它們是如此與眾不同，常被賦予特殊的地位。在許多文化中，人們會用對稱的圖案或物體來作為代表他們生活的符號。
到了19世紀，數學家們開始系統地研究對稱模式背後的數學結構。到了20世紀，數學中的群論成為了理解現代物理學最重要的工具之一。那麼，什麼是群？它與對稱性又有著怎樣的關係？
對稱性是數學家研究的一種重要性質，當數學家描述乙個物體是否具有對稱性時，實際上是在討論物體在經過某些操作或運算之後，是否仍能維持不變。例如正方形在旋轉和反射操作下具有很強的對稱性，而長方形在這兩種操作下的對稱性卻較弱。
以我們最為簡單和熟悉的幾何結構——等邊三角形為例，尋找等邊三角形的對稱變換就是要總結出所有能使等邊三角形維持不變的剛性運動。在此之前，我們可以先將等邊三角形的三個頂點分別標記為1、2、3。
第乙個明顯的對稱就是什麼都不做——這被稱為恒等變換；第二種對稱則是繞三角形中心逆時針旋轉120°，重複這一操作能讓等邊三角形繼續維持原樣，當進行三次這樣的旋轉時，等邊三角形則完全恢復到初始位置。
如果用i表示恒等變化，r表示逆時針旋轉120°，那麼將三角形恢復原狀的三次旋轉可被簡單地表述為r³ = i。無論是按照逆時針旋轉還是順時針旋轉，這一關係都成立。
等邊三角形的另乙個對稱變換是以中線為軸進行的翻轉，我們可以用t字母來表示這種翻轉。如圖中所示，如果沿著頂點1的中線翻轉，那麼頂點1維持不變，頂點2和3交換位置。
在完成一種對稱變換後再進行的另一種對稱變換，這種組合結果也必然是一種對稱變換。比如先做旋轉變換r，再做翻轉變換t，那麼經過這個過程(寫作tr)將得到
如果將這一過程的順序變成rt，即先進行翻轉變換t，再進行旋轉變化r，那麼這次被固定的中線變成了由右邊頂點到中心的那條。
由此可見，雖然tr和rt都是對稱變換，但tr ≠ rt，表明這種對稱變化的組合是不可交換的，不同的變換順序會給出不同的結果。
不難發現，到目前為止，等邊三角形出現了6種對稱：
i(不變)
r(逆時針旋轉120°)
r²(逆時針旋轉240°)
t(沿中線翻轉)
tr(旋轉120°後翻轉)
rt(翻轉後旋轉120°)
以這6種對稱為基礎，將其中每一種與其他的對稱變換組合起來，可以得到36種組合方式。
將它們一一列入表中，讓第一列中的對稱變換與第一行中的對稱變化進行組合，比如當第一變換是r²(逆時針120°旋轉兩次)，第二變換是tr(逆時針旋轉120°接翻轉)時，那麼r²與tr的組合會得到trr²，而rr²=r³=i，所以trr²組合等價於t。
這個表被稱為cayley表，它是以英國數學家arthur cayley命名的。
從等邊三角形的這張對稱性cayley表中，我們可以看出，r對稱需要連續變換3次才能得到恒等變換i；r²也需要連續變換3次，即三次240°的逆時針旋轉也能讓等邊三角形回到原始狀態；t對稱需要連續變換兩次，才能得到恒等變換……在數學中，這種一種對稱變換通過與自身組合能得到恒等變換所需的次數被稱為「階」。在這個例子中，r的階為3，r²的階為3，t的階為2……
現在，讓我們以這個有6條腿和6個小腳的圖形為例。它有乙個繞中心逆時針旋轉60°的對稱r，由此可得r²、r³、r⁴、r⁵也都是它的對稱性，其中r⁶=i。小腳的存在使它失去了翻轉對稱t，所以這個圖形的對稱群是，它的cayley表為：
和等邊三角形的情況一樣，這個對稱群中也有6個元素，但不同的是，在這個對稱群中，進行變換的順序並不會帶來差異，比如r² x r³= r³ x r²。這種順序可以交換的群被稱為阿貝爾群，是以挪威數學家阿貝爾(niels henrik abel)命名的。
常見的幾何圖形中，正方形和長方形之間的對稱性有何不同呢？
正方形擁有8種對稱，除了恒等變換之外，它具有90°、180°、270°的旋轉對稱，關於水平中線和豎直中線的翻轉對稱，以及兩種關於對角線的翻轉對稱。這8種對稱構成乙個群，再將群中的這些對稱變換加以組合，得到的將會是這個群中已存在的某乙個對稱變換，且群中的每乙個對稱都有乙個逆對稱。
與正方形相比，由於長方形的鄰邊具有不同長度，因此它只有4種對稱性：恒等變換、180°旋轉對稱，在水平方向和豎直方向的翻轉對稱。這4個對稱形成了長方形的對稱群；同樣，將群中的任意兩個變換結合起來能得到4個對稱中的另乙個。
從這張cayley表中，我們會發現對長方形來說，每個對稱都是它自己的逆對稱，因此長方形的對稱群也是乙個阿貝爾群。
拉格朗日定理是乙個對群論至關重要的定理，它能提供與子群有關的資訊。子群就是群裡包含的乙個小群，將子群中的任意兩個元素結合起來能得到這個子群中的乙個元素，且子群裡的每個元素的逆元素也在這個子群之中。
拉格朗日定理說的是：子群的階可以整除群的階。對稱群的階數可被定義為群中所含有的元素數量。比如從上述例子中，我們可以得知等邊三角形的對稱群的階數為6，正方形的為8，長方形的為4。
再次以等邊三角形的對稱群為例，cayley表中的子集就是其中的乙個子群：將中的任意兩個元素組合在一起能得到了該子集中的任何乙個元素；中的每個元素的逆元素都在該子集中，因為r和r²互為逆元素。是等邊三角形的對稱群中的另乙個子群例子。
等邊三角形的對稱群的階為6，而子群的階是3，3可以整除6；子群為2階，2也能除6。拉格朗日定理對子群的大小施與了乙個強有力的限制，由此可知，等邊三角形的對稱群不會有階為4、5的子群。
從該理論可以推出乙個非常重要的推論，那就是乙個群裡的任意元素的階，都能整除群的階。例如在等邊三角形的對稱群中，具有階數為1、2、3的元素，它們都可以整除6。在任何乙個群中，當群裡的任何元素與自身的結合次數為群的階數時，就會得到恒等變換——這是乙個構成了公鑰密碼學基礎的結果。
對所有有限單群的分類是20世紀數學領域所取得的乙個偉大成就。有限單群是可被用來構建其他所有群的一類群，它們不能被分解成其他部分。我們或許可以將單群之於群模擬為素數之於整數，對於整數來說，每個整數都是由素數構成的；我們也可以說每個群都是由單群構成的。
在這篇文章中，我們只列舉了幾種簡單的有限群，並未涉及到無限群——例如圓的對稱性，它可以繞著中心以任意角度旋轉而維持不變……這樣的例子還有很多。群和其他代數結構在許多領域都非常重要，例如在幾何學和拓撲學中。而我們在物理系統中也能看到群的身影，例如在力學中，一些基本方程的對稱性也對應於守恆量，再比如在粒子物理學的標準模型中。
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