楊輝三角斜列規律及與迴圈層數的關係

一、楊輝三角簡介

楊輝三角，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數學家楊輝2023年所著的《詳解九章演算法》一書**現。在歐洲，帕斯卡（1623----1662）在2023年發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。

楊輝三角是中國數學史上的乙個偉大成就。如圖所示：

二、楊輝三角斜列規律

定義斜列第一層為：1 2 3 4 5 6 . . .

則：第二層：1 3 6 10 15 21 28 36 . . .

第三層：1 4 10 20 35 56 84 . . .

第四層：1 5 15 35 70 126 . . .

(m)x(n) = a(n+m-1, m) / m !，即x(n) = a(n+m-1, m) / m !其中，a(n+m-1, m)為排列數，例如：a(5, 3) = 5 * 4 * 3 = 60

m !為m的階乘，例如：m = 4，m ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

第三層：1 4 10 20 35 56 84

由題可得：m = 3，可得公式：x(n) = a(n+2, 3) / 6

檢驗：

n = 1, x(1) = a(3, 3) / 6 = 3 * 2 * 1 / 6 = 1

n = 2, x(2) = a(4, 3) / 6 = 4 * 3 * 2 / 6 = 4

n = 3, x(3) = a(5, 3) / 6 = 5 * 4 * 3 / 6 = 10

三、特殊多層迴圈巢狀

for

(int i =
1; i <= n;
++ i)
​    語句一；

for

(itn i =
1; i <= n;
++ i)
​     for
(int  j =
1; j <= i;
++ i)
​          語句一；

y(n) = n * n，但不是這樣

這裡直接給出結論，語句一執行次數與迴圈層數的關係：

對於m層類似上述的迴圈巢狀，語句一執行次數與n的關係為：

y(n) = a(n+m-1, m) / m !

由此可見，楊輝三角與迴圈具有共同的公式，迴圈的層數對應楊輝三角斜列層數，對於不同n的值，也有斜列第n個數與之對應，舉例如下:

所以，例如嚴蔚敏《資料結構習題解析與實驗指導》，注：是習題冊

p4. 10，求

for

(int i =
1; i <= n;
++ i)
​    for
(int j =
1; j <= i;
++ j)
​         for
(int k =
1; k <= j;
++ k)
​              x ++
;

顯然，迴圈為3層，m = 3;

y(n) = a(n+m-1, m) / m! = n(n+1)(n+2) / 6，選 d

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