經典的傳染病模型簡介 SIS情況分析

經典傳染病模型的缺陷

研究傳染病模型，對社會經濟和維持秩序有重大意義，尤其在過去的2023年，新冠疫情爆發。從數學領域對疫情進行分析，根據經典的傳染病模型，考慮新的因素，加入新的變數，也是疫情追蹤和防控的一種有力手段。

最近剛好有機會用到傳染病模型，趁此機會先對其有乙個大致的了解。

常見的傳染病模型按照具體的傳染病的特點可分為si、sis、sir、sirs、seir 模型。其中「s」、「e」、「i」、「r」的現實含義如下：

s (susceptible)，易感者，指缺乏免疫能力健康人，與感染者接觸後容易受到感染；

e (exposed)，暴露者，指接觸過感染者但暫無傳染性的人，可用於存在潛伏期的傳染病；

i (infectious)，患病者，指有傳染性的病人，可以傳播給 s，將其變為 e 或 i ；

r (recovered/resistance)，**者/抵抗者，指病癒後具有免疫力的人，如是終身免疫性傳染病，則不可被重新變為 s 、e 或 i ，如果免疫期有限，就可以重新變為 s 類，進而被感染。

若是致死性疾病, 一般的做法認為死者也算進r項裡,。當死者妥善處理以後無法被感染也無法感染別人時, 和恢復者的傳播性質一樣。

根據病種的不同，可以選用不同的基礎模型，在此基礎上可以優化和拓展。如在新冠病毒**模型中增加諸如病床資源、藥物資源、加入隔離等變數，或是放入空間網路，以實現更符合現實的時空和空間的**。

根據前面的簡介，可以得知像普通流感、細菌性痢疾這樣**後免疫力很低或因其他因素易再感染的疾病，都能用sis進行分析。此外，傳染病模型也可以應用於其他領域，如網路謠言（rumour）或毒品傳播等問題。

易感者與患病者有效接觸即被感染，變為患病者，可被**再次變為易感者，無潛伏期、無免疫力；

總人數為n，不考慮人口的出生與死亡，遷入與遷出，此總人數不變；

以一天作為模型的最小時間單元；

不考慮疾病的變異。

t 時刻各類人群佔總人數的比率分別記為s(t)、i(t)；

每乙個時刻的每個感染者（這裡感染者作為主體）有λ 的平均概率把毒傳染給鄰居，前提是鄰居屬於s群體；

初始時刻 t=0 時，各類人數量所佔初始比率為s0、i0；

每天被**的患病者人數佔病人總數的比率為 μ ，即日**率；注意的是，患病者被**後成為易感者，且1/μ 為該傳染病的平均傳染期，即從患病到**的天數;

μ，v = 0

以一天作為模型的最小時間單元，套入上面提到的各概率因子。

注意，這是乙個可以演變的概率模型。而s中個體的傳染能力，以概率形式體現，且先不考慮一人傳多人。

由前面提到的條件，可得微分方程組：

(1)左右式表示 t時刻下日變化感染人數，其中n = s + i（大寫），即該模型範圍內總人口。ni(t)λs(t)的意思是，一共有n i(t)個患者，每個人有 λ 的比率感染別人，那麼被感染的人（屬於易感者s）的概率就有λ s(t) 。

當情況細化且複雜化時，想要提高模型的效能，首先需要看到經典傳染病模型的不足。

由前面提到的可知，通過對 sis、sir、seir 等基礎模型的研究, 可以**乙個封閉地區疫情的爆發情況, 最大峰值, 感染人數等等。

然而，顯然沒有任何地區是封閉的，正如我們不能天真指望把病毒鎖死在武漢以盡快掐滅這把火，不使其跨外傳播。這時，就要引入網路結點模型，把各個地區看成圖的節點,每個節點各自跑各自的seir模型。乙個經典的做法是用馬爾可夫轉移來刻畫地區之間的流動，對每個結點單獨跑 seir 模型。

一般認為，當我們開始把問題個體置入與外部相聯絡的一張網路時，需同時考慮內外因素。常見的內部因素有當地面積、當地的事件相關資源等，常見的外部因素有相對距離、外部區域人口、外部區域人口流動等等。

我們現在知道，經典的基礎模型難以刻畫地理因素，而這只是不足之一。當我們解決實際問題時，還有許多待完善的地方。這裡，先補充常見的兩點不足：

1.無法刻畫超級傳播者：原模型中的感染率只考慮了平均值。尤其是在病毒傳播初期，要做的恰恰是充分考慮超級傳播者的影響。

2.潛伏期問題：病人在潛伏期內，也可能具有傳染性。

參考知乎答主matthew zz，對於sir模型，有一種解法：

圖4中x(t), y(t), z(t)分別對應著s(t), i(t), r(t)；而