9的第99個後繼是多少？對於學完加法的我們，已經不需要乙個乙個從9一直數到108，而是可以直接說出9+99=108，加法合併了這些後繼操作。
那麼當99個99相加時，有沒有什麼新的方法來合併這些加法操作呢？乘法自然而然地就產生了。
當我們把3個4相加時，我們也可以說是4乘3，即用加法來定義乘法：
我們很容易就能驗證，任何數和1的乘積都等於這個數本身。
而乘法是比加法更高一層的運算法則，因此我們規定在同乙個式子中，先算乘法再算加減法，除非有括號。
練習：計算
。乘法除了可以在一維直線上進行計算，也能夠計算二維平面：
上圖中左邊的圖形有多少個格仔？很顯然是6個，但我們也可以不用數數的方式，用乘法來計算每行3個，總共2行，即3x2=6。
練習：用乘法計算右邊的圖中有幾個格仔。
探索：乘法和加法有什麼區別？3堆蘋果，每堆5個，和5堆蘋果，每堆3個，真的是一樣的嗎？（物件不同的二元運算，對映的復合）
我們可以驗證，3乘4和4乘3是相等的，同時2乘3再乘4，和3乘4再乘2是相等的，即：
和加法類似，乘法同樣擁有交換律和結合律。
現在我們能夠對0的乘法進行規定了，為了保持數學的統一美，數學家們讓乘法對於0也滿足乘法交換律，0乘4等於4乘0，即4個0相加，結果為0。
因此規定，0乘任何數都是0，包括0乘0。
練習：計算
。探索：怎麼證明乘法交換律和乘法結合律對所有自然數有效？（皮亞諾公理）
而乘法除了交換律和結合律，還能和加法結合產生新的性質。2加3再乘5，與2和3單獨乘5再相加，結果是一樣的，即：
這被叫做乘法分配律。
練習：計算
。探索：怎麼證明乘法分配律對所有自然數有效？（皮亞諾公理）
探索：兩個數相加和另外兩個數相加的乘積該如何使用分配律？很多個呢？（代數式的乘法）
知道了自然數的乘法之後，我們接下來要考慮整數。
如果是乙個正數和負數相乘，例如2乘-3，我們依舊可以利用加法計算：
即正數和負數相乘，得到的是負數，結果為絕對值相乘的相反數。
但負數乘負數應該是多少？比如-1乘-1？
簡單來說，負數乘負數沒有實際意義，所以只是一種規定，數學家們定義：
兩個負數相乘等於正數，結果是絕對值相乘。
為什麼這麼定義，因為這樣的乘法可以滿足分配律，而且滿足分配律的乘法只有這一種：
這就是所謂的負負得正，兩個負數相乘等於正數。
練習：計算
。探索：滿足分配律的負數乘法有什麼優勢？（負數乘法的應用，交換環）
乘法提供了比加法更高一層的運算，而更高一層的運算也往往會產生新的數學，例如乘法分配律。
同時，負數乘法的引入，打破了數學和實際事物的聯絡，在理解上是困難的。-1乘-1的問題中，我們進入了人為規定的抽象世界，這是由具體數學向形式數學的重要轉折。
探索：比乘法再高一層的運算是什麼樣的？再高很多層呢？（乘方，葛立恆數，康威鏈）
探索：小數該怎麼計算乘法？（實數的運算）
預習：就像加法對應減法一樣，乘法有沒有對應的逆運算？這種運算能夠一直在整數上成立嗎？
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