22.4÷4,小數除以整數。有經驗的學生會得出如下三種方法,
①22.4×10=224,
224÷4=56,
56÷10=5.6。
這種方法,緣於小數乘法,是先把22.4擴大到它的10倍,用224去除以4得出56,再把56縮小到它的1/10得5.6。
② 22.4km=22400m,
22400÷4=5600(m),
5600m=5.6km。
這種方法是借助單位轉化,其實也是緣於小數乘法。它與上面這種方法,最大的區別是:22.4轉化成224,兩者並不相等,但22.4km轉化成22400m,兩者是相等的。
③列豎式計算(如圖)。教材中說,商的小數點要和被除數的小數點對齊,但有的學生卻認為要像小數乘法一樣數出來。其實,要確定商的位置和小數點的位置,用算理是最能說清楚的。
22個1平均分成4份,每份是5個1,所以5必定在個位上,當分掉了20個1之後,就剩下2個1,再把2個1與4個0.1合併,得24個0.1,再把24個0.1平均分成4份,每份得6個0.1,所以6必定在十分位上。那麼怎樣體現出5在個位上,6在十分位上呢?這就得在5與6之間點上小數點了。所以商中間的小數也可以在計算完成後再點。
整數除法與小數除法,其基本算理和演算法的本質是相同的,都是用幾個計數單位去除以除數,計算方法都是「除到哪一位,商就寫在那一位的上面」,不同的是小數除法要考慮小數點的定位。28÷16,整數除以整數(除到被數的末尾仍有餘數,需要添0繼續除)。
如果按照以往,得到餘數後就算計算結束了(如圖左),但現在還得繼續
(如圖右)
,這樣才算是真正的小數除法。
同樣的,關於商的各個數字上的數的定位及小數點的定位,用算理是最能說清楚的。28個1平均分成16份,每份得1個1還剩12個1,所以商1要寫在個位上。而12個1無法再平均分成16份,所以又得把它看作120個0.1,再平均分成16份,每份是7個0.1還剩8個0.1,所以商7要寫在十分位上,8個0.1無法再平均成16份,所以又得把它看作80個0.01,再平均分成16份,得每份是5個0.01,所以商5又得寫在百分位上。這樣就把商的各個數字上的數的意義與數字對應起來了。
在這裡,必須要解決的問題是:除到被除數的最後一位時為什麼還可以添0繼續除?除得的7為什麼在十分位上?5為什麼在百分位上?5.6÷7,算是一種特殊情況了,即被除數的整數部分不夠商1。這是第一次出現「商小於1」的情況。5個1平均分成7份,分不了,但56個0.1是行的(每份是8個0.1),所以商8必須寫在十分位上。那麼怎樣才能體現來出呢?就得在個位上商0,並在兩者之間點上小數。當然,若從「演算法及記憶」的角度,似乎也挺簡單,5除以6不夠除,商0,56除以7等於8,寫上8,小數點要對齊,所以結果是0.8。
它和整數除法最大的區別是:整數除法商的最高位0不寫,而小數除法商的最高位是個位且是0的話要寫的。在這裡,必須要解決的問題:為什麼商的個位要寫0。7.65÷0.85,小數除以小數。當放手讓學生自己解決時,有不少同學做不來。問了原因,主要有三個:一是出現了小數除以小數,這是乙個新知識點;二是想到了商可能是9,但不知道這個9該寫在**;三是覺得商應該是0.09,但驗算出來,發現不對。
當然,有了前幾節課的經驗,有同學想到了借助於單位的轉化,比如把
7.65公尺轉化成765厘公尺,把0.85公尺轉化成85厘公尺,然後再計算。
接下來是練習,但依然有爭論,比如0.544÷0.16,有的學生做成了54.4÷16,也有的學生做成了544÷160,那麼到底用哪種好?通過計算及對比,發現還是前者,不僅合理而且簡潔,所以我們就統一成「除數轉化成整數」。不過個人覺得這一道題比較特殊,所以應當當作重點來講。此外,也還應該增加整數除以小數的題目,比如544÷0.16。
總體感覺,這節課教得比較細緻,但問題依然防不住(如圖),比如被除數和除數都不擴大;比如被除數和除數都變成整數。所以我們不得不重視起來。
但終究來說,是以「被除數和除數的小數字數相同」為例的緣故,因為它不善於暴露出問題,所以倘若以後再教,必做要進行調整。12.6÷0.28,被除數的小數字數比除數少。有了前面的經驗,學生都知道要把除數轉化成整數,被除數要擴大相同的倍數
。 但在實際作業中,依然有許多問題(如圖),所以在讓老的小數點去掉的同時,必須讓新的小數點產生,即點一點新的小數點,以示提醒。
總之:小數除法,真的不容易,特別如下圖的題目,一旦錯起來,
真的會讓人懷疑人生。
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