一．概念描述
現代數學：要全面深刻地理解無限小數，有必要對實數做乙個全面的了解。實數分為有理數和無理數。有理數可分為整數和分數。如果把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成整數，有限小數或無限迴圈小數，比如2=2.0，2/5=0.4，1/3=0.3333......。而無理數只能寫成無限不迴圈小數，比如自然對數的底數e=2.718281828459045......；再如開方開不盡的數，像√2=1.414213562......等。無限不迴圈小數和無限迴圈小數不同，它的小數點後有無限個數字，卻沒有週期性的重複，換句話說就是沒有規律。最有名的兩個無限不迴圈小數就是圓周率π和自然對數的底數e。下面我們就來說說無限小數。
無限小數的定義一般有以下兩種：
①它是不能除盡的數，經過計算化為小數後，小數部分無窮盡。
②小數部分的位數是無限的小數叫作無限小數。
無限小數可以分成無限迴圈小數(如1÷3=0.33……，1÷7=0. 142857142857……)和無限不迴圈小數(圓周率π=3.1415926535 ……，到2023年為止使用ibm藍色基因／p超級計算機已計算到60000000000000位小數，仍然沒有出現迴圈)。
小學數學：2023年人教版教材五年級上冊的第28頁明確指出：小數部分的位數是無限的小數叫作無限小數。例如，0.2142857142857……就是乙個無限小數。
二．概念解讀
在小學數學中給出的分數定義實質上是正有理數p/q的定義，其中q≥2。小數是分數的一種特殊表現形式，同質不同形。根據p/q的定義，在最簡分數p/q中，當q可以分解為只含有因數2和5時，那麼p/q可以用有限小數表示；當q可以分解為不只含有因數2和5時，那麼p/q可以用無限小數表示。
我們知道，實數是由有理數和無理數組成的。實數和數軸上的點是一一對應的。因此，數軸上的每乙個點都應該對應於唯一的乙個實數。把直線用通常的方法標出 0、1、2這些整數點來，就是數軸了。這樣，如果哪乙個點正好落在某個整數點上，我們就可以用這個整數表示這個點。那麼其他點如何表示呢？如果把0和1之間平均分成10份，第乙個分點上就可以記為0.1，笫二分點可以記為0.2．第三個分點可以記為0.3 ……以此類推；如果把0和1之間平均分成100份，第乙個分點上就可以記為0.01，第二個分點上可以記為0. 02，第三個分點上可以記為0.03……以此類推。在0和1之間可以平均分成10份、100份、1000份、100000000份……以此類推，我們可以無限地分下去，這樣所得到的小數都是十進位制小數。
現在我們把0和l之間的線段平均分成3份，第乙個分點就是三分之一，如果用小數表示，首先要將0和1之間平均分成10份，三分之一落在了十等分的第
三、第四兩個分點之間，再把這個小線段十等分，它仍然在第
三、第四兩個分點之間……每次十等分，它都在第
三、第四兩個分點之間。那麼我們只好用乙個無限小數「0. 333 ……」來表示這個點了，其中的3是指過了第三個分點但沒到第四個分點。而這個無限數表示的是三等分點，不是我們得到的那些
十、百、千等分點。無限小數在數軸上所對應的點，都是不能用十進位制小數表示的，它是乙個以和它相等的分數的分母為等分數、分子為等分個數的點。
三．教學建議
(1)無限小數的意義可以通過體驗來理解
例如在教學過程中，教師通常採取體驗式教學。教師可首先出示「1÷3=」、「22÷7=」這樣的算式讓學生進行計算比賽，學生在計算過程中就會親身體會到小數部分的無窮盡。根據學生的知識經驗和心理特點，他們會對比賽躍躍欲試。比賽一開始，他們就會迅速地進行計算，當計算一段時間後，學生開始疑惑、猶豫、思考……他們會發現這樣除下去永遠都算不完，從而會停下來。這是學生通過計算初步體驗無限的含義。為什麼會出現永遠也算不完這樣的現象呢？教師可以引導學生通過觀察豎式發現其中的道理：在進行除法計算時，每一次除完所得的餘數必須比除數小，當某乙個或幾個餘數沒完沒了地重複出現時，商中小數部分的某乙個數字或某幾個數字也會相應地重複出現。相等的餘數會導致相等的商，這樣餘數和商就周期性地重複出現了。因此，商的小數部分的位數也就無窮無盡了。這樣，學生不僅能再次體驗到無限的含義，而且能理解其中的深刻道理。
(2)通過觀察來感受無限小數的意義
教師可以把剛才「1÷3=」、「22÷7=」的算式讓學生通過計算器或電腦計算完成，接著觀察計算器或電腦上的結果，然後讓學生思考「結果是不是計算器或電腦上所顯示的答案？為什麼？」因為學生經歷了豎式的計算過程，理解了餘數不斷重複出現導致商的小數字數的無限，因而一定能夠回答：「不是的，因為計算器顯示的數字的個數是有限的，不能表示出『1÷3=』、『22÷7=』這樣算式的計算結果。其實後面還有很多很多不斷重複出現的數字，有無數多個位數。」學生通過觀察推理也可以感受到無限小數的意義。這一次的感受是通過觀察兩個數相除所得結果這個角度，來理解無限小數意義的。
四．推薦閱讀
(1)《數學辭海·第一卷》(裘光明，山西教育出版社，2002)
該書的第28頁對無限小數的相關概念進行了具體說明。
(2)《古今數學思想》(克萊因，上海科學技術出版社，2002)
該書第一冊第291-301頁對數系和算術的狀況做了非常詳細的分析，對無限小數的理解很有幫助。
三個數之和
b 問題 b 給定乙個由n個整數組成的陣列s，是否存在s中的三個數a,b,c使得 a b c 0?找出所有的不重複的和為0的三元組。注意 1.三元組的整數按照公升序排列 a0 c向前移一位，減小和 還要注意的是去掉重複的解，保證a和b都和上次的不同即可。如下 public class solutio...
三個數之和
給定乙個包含n個整數的陣列nums，判斷nums中是否存在三個元素a，b，c，使得a b c 0？請找出所有的三元組。答案不包含重複的三元組。python class solution def threesum self,nums if len nums 3 return res n len num...
三個數和為零
給出乙個長度為n的無序陣列，陣列中的元素為整數，有正有負包括0，並互不相等。從中找出所有和 0的3個數的組合。如果沒有這樣的組合，輸出no solution。如果有多個，按照3個數中最小的數從小到大排序，如果最小的數相等則按照第二小的數排序。input 第1行，1個數n，n為陣列的長度 0 n 10...