1、平行線（倒數和）
如圖 (1) 所示，已知 ac // bd，ac = a，bd = b. 連線 ad 和 bc，二者相交於點 n. 作 mn // ac // bd 交 ab 於點 m. 設 mn = c. 求證：
解：根據平行線分線段成比例定理，由 mn // ac 和 mn // bd 有
兩式相加，得
證畢。2、直角三角形（平方倒數和）
如圖 (2) 所示，已知直角三角形 abc 中，直角邊 bc = a，ac = b，ch = c 是斜邊 ab 上的高，點 h 為垂足。求證：
解：根據勾股定理，斜邊
. 又根據三角形面積
證畢。3、外切圓（平方根倒數和）
如圖 (3) 所示，已知圓 o1 和圓 o2 外切於點 p，直線 ab 為外公切線。設兩圓半徑為 o1a = a，o2b = b. 現有圓 o 與圓 o1, o2 外切於點 q, r 且與直線 ab 相切於點 c. 設圓 o 的半徑 oc = c. 求證：
解：根據圓 o1 和 o2 外切知 o1o2 = a + b. 於是解得公切線 ab 的長
這裡需要作一條輔助線：過 o2 作 o2h 垂直 o1a 於點 h 得到矩形 o2hab，然後由勾股定理求出 o2h 即為 ab 的長。顯然也可以過 o1 作 o2b 的垂線求出 ab.
我們將同樣的結論應用到圓 o 和圓 o1 以及圓 o 和圓 o2 得
根據 ab = ac + bc，整理得
證畢。這三個平面幾何的結論很有趣，都是倒數和形式，但次方數不一樣。所用到的數學知識比較基礎，適合平面幾何的學生掌握。
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