生成共現矩陣。假設有m個使用者，n個物品，每個使用者會對n個物品中的乙個或者幾個進行評分，未評分的物品分值就用問號表示，則所有m個使用者對物品的評分可形成乙個m∗n
m*nm∗
n的評分矩陣，也就是協同過濾中的共現矩陣。
生成共現矩陣後，推薦問題就轉換成了**矩陣中問號的值的過程。
利用使用者相似度和相似使用者評分的加權平均偶的目標使用者的評價**。下式中，wu,
sw_
wu,s
是物品u和使用者s的相似度，us,
pu_
us,p
是使用者s對物品p的評分。
r u,
p=∑s
∈s(w
u,s⋅
rs,p
)∑s∈
swu,
sr_ = \frac(w_ \cdot r_)}w_}
ru,p=
∑s∈s
wu,
s∑s
∈s(
wu,s
⋅rs
,p)
usercf主要有量大缺點，(1) 在網際網路場景下，使用者數量遠大於商品數量，而且還會持續增加，這導致使用者相似度矩陣的儲存開銷很大；(2) 使用者的歷史資料很稀疏，找到相似使用者的準確度很低。
由於上面兩大缺點，amazon最終沒有採用該方法，而是採用了itemcf。itemcf的計算過程和usercf類似，但是在應用場景上有所不同。userct具備強社交屬性，並且更適合發現熱點以及跟蹤熱點的趨勢。itemcf更適用於興趣變化較為穩定的應用。
協同過濾有兩大缺點，(1) 熱門的物品具有很強的頭部效應，容易跟大量物品產生相似性，而尾部物品則完全相反；(2) 協同過濾僅僅利用使用者和物品的互動資訊，造成了資訊遺漏。
在矩陣分解的演算法框架下，使用者和物品的隱向量是通過分解共現矩陣得到的。對矩陣進行矩陣分解的方法主要有三種，特徵值分解、奇異值分解、梯度下降。其中，特徵值分解只能作用於方陣，故排除。奇異值分解要求原始的共現矩陣是稠密的，所以必須對確實的元素值進行填充，並且計算複雜度為o(m
n2
)o(mn^2)
o(mn2)
，所以也不合適。因此，梯度下降成了進行矩陣分解的主要方法，目標函式是讓原始評分rui
r_ru
i與使用者向量和物品向量之積qit
pu
q^t_ip_u
qitpu
的差盡量小，同時為了減少過擬合現象，加入正則化項。下式中，k是所有使用者評分樣本的集合。
m in
q∗,p
∗∑(u
,i)∈
k(ru
i−qi
tpu)
2+λ(
∣∣qi
∣∣2+
∣∣pu
∣∣2)
\underset\underset(r_-q_i^tp_u)^2+\lambda(||q_i||^2+||p_u||^2)
q∗,p
∗min(
u,i)
∈k∑
(rui
−qi
tpu
)2+
λ(∣∣
qi∣
∣2+∣
∣pu
∣∣2)
對q
iq_i
qi求偏導，得∂h∂
qi=2
(rui
−qit
pu)p
u−2λ
qi
\frac = 2(r_-q_i^tp_u)p_u-2\lambda q_i
∂qi∂h
=2(
rui
−qit
pu
)pu
−2λq
i對p
up_u
pu求偏導，得∂h∂
qi=2
(rui
−qit
pu)q
i−2λ
pu
\frac = 2(r_-q_i^tp_u)q_i-2\lambda p_u
∂qi∂h
=2(
rui
−qit
pu
)qi
−2λp
u沿梯度反方向更新引數
矩陣分解相比協同過濾有三個優點：(1) 泛化能力強，一定程度上解決了資料稀疏問題；(2) 空間複雜度低；(3)更好的擴充套件性和靈活性
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