這篇文章介紹了尤拉環遊的定義判定，fleury演算法求尤拉圖中的尤拉環遊，最後給出了中國郵遞員問題的解決步驟。
所謂尤拉環遊就是指在乙個無向圖中，從乙個點出發，每條邊恰好走一次並且能夠回到原點的路徑。舉個例子,下圖中路徑abcd就是乙個尤拉環遊。這種包含了尤拉環遊的圖叫尤拉圖。
圖1 乙個尤拉圖
那麼，給定乙個圖，我們應該怎麼判定它是否是尤拉圖呢？很簡單。
非 空連
接圖g是
尤拉圖⇔
所有頂點
的度為偶
數\color非空連線圖g是尤拉圖\leftrightarrow所有頂點的度為偶數
非空連線圖g
是尤拉圖
⇔所有頂
點的度為
偶數。這裡不作證明。
那麼給定乙個尤拉圖，我們應該如何求尤拉環遊呢？這裡有一種fleury演算法，可以求解。fleury演算法很簡單，簡單概括就是過河拆橋，盡量不走獨木橋
演算法流程:
任取乙個頂點v
0v_0
v0，令w0=
v0w_0 = v_0
w0=v0
路w i=
v0e1
v1..
.eiv
iw_i = v_0e_1v_1...e_iv_i
wi=v0
e1
v1.
..ei
vi
已經確定，在圖中拆除路**現的邊，選擇一條邊ei+
1e_ei+1
使得
如果選不出ei+
1e_ei+1
，結束。否則得到路wi+
1=v0
e1v1
...e
iviw
i+1v
i+1w_= v_0e_1v_1...e_iv_iw_v_
wi+1=
v0e
1v1
...
eiv
iwi
+1v
i+1
，e i+
1e_ei+1
連線v
iv_i
vi和vi+
1v_vi+1
，轉到2。
演算法複雜度：
設頂點個數為v
vv，邊數為ϵ
\epsilon
ϵ，那麼演算法複雜度為o(v
2ϵ)o(v^2\epsilon)
o(v2ϵ)
遍歷每條邊，並且判斷這條邊是否為割邊，判斷一條邊是否為割邊複雜度為o(v
2)o(v^2)
o(v2
)，所以該演算法的演算法複雜度為o(v
2ϵ)o(v^2\epsilon)
o(v2ϵ)
演算法**:
圖2 演算法**
講了半天尤拉環遊，接下來我們講講它的使用例子。我國數學家管梅谷中國郵遞員問題（chinese postman problem, cpp）。乙個郵遞員從郵局出發，走完所有他所管轄街道各一次，最後返回郵局，如何選擇一條最短路線。這是個求最優環遊問題（遍歷所有邊回到原點並且邊權重和最小），我們可以把這個問題轉換為尤拉環遊問題。
新增重複邊，從原來的圖中生成尤拉圖，並且使得新增的邊權重和最小。
求尤拉環遊。
管梅谷證明，一條邊最多被重複走兩次。
這裡直接給出求解中國郵遞員問題的步驟:
找出圖g
gg中鄰接邊為奇數的頂點，將這些鄰接邊為奇數頂點兩兩配對，將連通兩者的路徑上面的邊都改為加上一條重複邊。
若某對結點間有多於兩條邊連線，則去掉其中偶數條邊，留下一條或兩條邊連線這兩個結點，直到每對相鄰結點至多由2條邊連線。
檢查每個圈c
cc，若某個圈c
cc上重複邊集e
ee的權和超過這個圈的權和的一半，則將c
cc中原來的重複邊去除，將原來的沒有重複邊的邊加上重複邊，直到所有的圈其重複邊的權和不超過此圈權和的一半
用fleury演算法求尤拉迴路。
演算法**
圖3 中國郵遞員演算法**
YCOJ中國郵遞員問題
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