逐步增加遞增子串行二分查詢的妙用判定子串行

labuladong

二分查詢本身不難理解，難在巧妙地運用二分查詢技巧。對於乙個問題，你可能都很難想到它跟二分查詢有關，比如前文最長遞增子串行就借助乙個紙牌遊戲衍生出二分查詢解法。

今天再講一道巧用二分查詢的演算法問題：如何判定字串s是否是字串t的子串行(可以假定s長度比較小，且t的長度非常大)。舉兩個例子：

s = "abc", t = "ahbgdc", return true.

s = "axc", t = "ahbgdc", return false.

題目很容易理解，而且看起來很簡單，但很難想到這個問題跟二分查詢有關吧？

首先，乙個很簡單的解法是這樣的：

bool issubsequence(string s, string t) 
return i == s.size();
}

其思路也非常簡單，利用雙指標i, j分別指向s, t，一邊前進一邊匹配子串行：

讀者也許會問，這不就是最優解法了嗎，時間複雜度只需 o(n)，n 為t的長度。

是的，如果僅僅是這個問題，這個解法就夠好了，不過這個問題還有 follow up：

如果給你一系列字串s1,s2,...和字串t，你需要判定每個串s是否是t的子串行(可以假定s相對較短，t很長)。

boolean issubsequence(string sn, string t);

你也許會問，這不是很簡單嗎，還是剛才的邏輯，加個 for 迴圈不就行了？

可以，但是此解法處理每個s時間複雜度仍然是 o(n)，而如果巧妙運用二分查詢，可以將時間複雜度降低，大約是 o(mlogn)，m 為 s的長度。由於 n 相對 m 大很多，所以後者效率會更高。

二分思路主要是對t進行預處理，用乙個字典index將每個字元出現的索引位置按順序儲存下來(對於 ascii 字元，可以用大小為 256 的陣列充當字典)：

比如對於這個情況，匹配了 "ab"，應該匹配 "c" 了：

按照之前的解法，我們需要j線性前進掃瞄字元 "c"。但現在借助index中記錄的資訊，可以二分搜尋index[c]中比 j 大的那個索引，在上圖的例子中，就是在[0,2,6]中搜尋比 4 大的那個索引：

這樣就可以快速得到下乙個 "c" 的索引 6。現在的問題就是，如何用二分查詢計算那個恰好比 4 大的索引呢？答案是，尋找左側邊界的二分搜尋就可以做到。

在前文二分查詢演算法詳解中，詳解了如何正確寫出三種二分查詢演算法的細節。二分查詢返回目標值val的索引，對於搜尋左側邊界的二分查詢，有乙個特殊性質：

當val不存在時，得到的索引恰好是比val大的最小元素索引。

什麼意思呢，就是說如果在陣列[0,1,3,4]中搜尋元素 2，演算法會返回索引 2，也就是元素 3 的位置，元素 3 就是陣列中大於 2 的最小元素。所以我們可以利用二分搜尋避免線性掃瞄。

以上就是搜尋左側邊界的二分查詢，等會兒會用到，其中的細節可以參見二分查詢演算法詳解，這裡不再贅述。

這裡以處理單個字串s為例，對於多個字串s，把預處理部分單獨抽出來即可。

演算法執行的過程是這樣的：

可見借助二分查詢，演算法的效率是可以大幅提公升的：預處理時需要 o(n) 時間，每次匹配子串行的時間是 o(mlogn)，比之前每次匹配都要 o(n) 的時間要高效得多。

當然，如果只需要判斷乙個 s 是否是 t 的子串行，是不需要二分查詢的，一開始的 o(n) 解法就是最好的，因為雖然二分查詢解法處理每個 s 只需要 o(mlogn)，但是還需要 o(n) 時間構造 index 字典預處理，所以處理單個s時沒有必要。

以上就是二分查詢技巧判定子串行的全部內容，希望你能有所收穫。

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逐步增加遞增子串行 二分查詢的妙用 判定子串行