3 梯度消失與**
mlp可以說是最簡單的一種ann結構了，輸入通過若干個隱藏層後，進入輸出層得到輸出。下圖展示了只有乙個單隱層的mlp。
圖1 單隱層mlp
如果使用交叉熵損失函式（cross entropy error function），需要在輸出層的狀態值
如果使用mse損失函式（mean squared error function），則可以不使用 softmax 歸一化函式。對應的方程為：
我們需要優化的引數為：第一層的
，第二層（輸出層）的
。由鏈式法則可知，損失值對第
層輸出的梯度
（稱為啟用值梯度），可以由前一層迭代求出：
然後通過
計算出狀態值梯度，一般記為
。最後就可以計算第
層中各個引數的梯度：
下面，我們將以圖1中的單隱層mlp為例，來演示梯度的計算。為簡便起見，輸入的batch num設為1。
本節的目標是求得輸出層的引數梯度微分：，(8)，以及前乙個隱藏層的啟用值梯度
(9)。
向量化：
其中 是逐元素取倒數。
得到：其中 為逐元素指數函式，
表示與
同型的全1向量，
表示對
各元素求和得到乙個標量。記
。微分：
向量化：
得到：由(4)(5)，有：
微分後向量化：
有：由於 ，有：
觀察(6-a)和(6-b)可知，無論是採用mse還是交叉熵，輸出層的狀態值梯度
都是網路輸出與目標輸出之間的殘差（餘差）
。在實際計算中，可以跳過
而直接計算
。微分：
向量化：
得到：其中 表示單位陣，其大小與第2層輸出維度大小一致。
結合(6)(7)有：
在實際計算中，一般將
進一步化簡，消掉kronecker積：
結合(9)可得：
與 類似。
回顧式(7)
與式(10)
，有：推廣到多隱層mlp，有：
記為jacobian矩陣的形式，
，特別地，
。由鏈式法則有：
記。
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