回覆讀者提問 位標記在素數篩中的應用

在程式設計競賽中，如果要求確定某一範圍內的素數，乙個常用的方法是使用素數篩。在使用素數篩的過程中，需要記錄某個數是否是素數，常見的方法是使用乙個整數陣列來記錄，例如：

const

int maxn =
10000010
;int primes[maxn]
, cnt;
void
sieve()
}

xx 是否為素數，如果 x

xx 不是素數，則標記primes[x] = 1，否則primes[x] = 0。與此同時，為了節省儲存空間，篩選得到的素數也存放在 pri

me

sprimes

primes

中，因為不是所有整數都是素數，因此這樣的做法沒有問題。

可以看到，使用上述的方法來標記是否為素數，與所求素數的範圍有關，由於 32

3232

位整數佔 4

44 位元組儲存空間，故所需的儲存空間為：maxn * 4位元組。

可以將標記陣列換成bool型別的陣列，比如：

const

int maxn =
10000010
;bool flag[maxn]
;int primes[
700000
], cnt;
void
sieve()
}

11 到 10000010

10000010

100000

10之間，素數的個數不超過 70

7070

萬個，這樣空間花費約為maxn位元組（當maxn較大時，儲存素數所使用的空間基本可以忽略不計）。

進一步地，可以使用位來標記某個整數是否為素數。例如，利用 c++

⁡\operatorname

c++ 提供的bitset序列容器：

const

int maxn =
10000010
;bitset flag;
int primes[
700000
], cnt;
void
sieve()
}

ii 的位是否為 1

11 來確定flag.test(i)的值。那麼我們可以進一步地予以簡化，因為在素數篩中，只應用了bitset的判斷和標記兩項功能，其他功能並未應用。

要簡化bitset的功能，關鍵是將序號 x

xx 對映為整數陣列中某個元素的某個特定位。舉個例子，乙個整數陣列中，每個元素都是乙個整數，佔 4

44 個位元組，即乙個陣列元素有 32

3232

個位，可以標記 32

3232

個整數。

const

int maxb =
100000010
;int b[maxb >>5]
;

]b[0]

b[0]

中的 32

3232

個二進位制位可以用於標記整數 0

00 至 31

3131

是否為素數，b[1

]b[1]

b[1]

中的 32

3232

個二進位制位可以用於標記整數 32

3232

至 63

6363

是否為素數……依此類推。為了方便的將序號 x

xx 對映到整數陣列 b

bb 中的某個位，定義以下的兩個巨集：

#define get(x) (b[x >> 5] & (1 << (x & 0x1f)))

#define set(x) (b[x >> 5] |= (1 << (x & 0x1f)))

3232

個整數對應 b

bb 中的乙個元素，因此整數 x

xx 所對應的 b

bb 中的元素為b[x / 32]，即b[x >> 5]，接下來需要確定 x

xx 在b[x >> 5]對應著哪乙個二進位制位。由於是每 32

3232

個整數「一段」，整數 x

xx 在第 x/32

x / 32

x/32

段，xx

x 在段內的序號就是 x

xx 除以 32

3232

後所得的餘數，使用位運算來表示的話，就是 x

xx 對應二進位制數的最後 5

55 個二進位制位的值，因此，x & 0x1f表示整數 x

xx 在段內的序號，結合獲取單個二進位制位值的方法，容易理解(b[x >> 5] & (1 << (x & 0x1f)))就可以獲取 x

xx 所對應的二進位制位值。

對一位讀者留言的回覆，並在此重申我的原則。

一位讀者對我的翻譯提出了一些比較嚴肅的建議。當然，我也知道 忠言逆耳，良藥苦口 但是有些原則想在這裡再次重申一下。譯者你不要生氣，我只是客觀地說一下我看您的譯作的感受。如果您看過錢歌川先生的 翻譯的技巧 或者讀過任何一本大學英漢翻譯教科書，我想您的作品不至於這麼晦澀和支離破碎。翻譯是一項系統工程，您...