這篇文章參考了神仙duy
iduyi
duyi
的題解。個人認為他的那篇文章寫得比這篇還要好，可以去看看他的這篇題解；如果看不懂的話 ，就來看看我的。
sto duyi orz!!!
duyi ddjxd!
求乙個序列的所有連續區間的mex
mexme
x的me
xmex
mex。
首先，看到本題，我們不難想到三個思考方式:
①直接從mex
mexme
x的me
xmex
mex入手，挖性質；
②從m ex
mexme
x入手，擴充套件到mex
mexme
x的me
xmex
mex；
③拆分這兩個mex
mexme
x。從①入手，似乎並沒有什麼用。
從②入手呢？很顯然，mex
mexme
x就是乙個區間中最小的，沒有出現的數。
從③入手呢？結合②，我們似乎完成了乙個轉化:
⌊
\lfloor
⌊ 對於每乙個值x
xx，我們要判斷是否存在乙個區間的mex
mexme
x等於x
xx。 ⌉
\rceil
⌉ 我們從1
11到n+1
n+1n+
1列舉每乙個x
xx，如果不存在這樣的區間使得它的mex
mexme
x等於x
xx，那麼就直接輸出x
xx並結束即可。
現在的難點，在於如何判斷是否存在乙個區間的mex
mexme
x等於xxx。
再重複一遍mex
mexme
x的定義: mex
mexme
x就是乙個序列中最小的未出現的數。
即，乙個區間的mex
mexme
x如果要等於x
xx，需要滿足兩個要求：
①這段區間沒有xxx；
②這段區間有1,2
,3……
,(x−
1)
1,2,3……,(x-1)
1,2,3…
…,(x
−1)。
我們需要以①，②中的乙個為條件，另乙個為要求去尋找這樣的區間。
我們考慮以更加簡單達到的①為條件。我們找出所有x
xx(可以預處理)，可以發現任意兩個x
xx均不能出現在同乙個區間中。
為了滿足②，可以發現乙個「單調性」：如果乙個區間有1
11到x−1
x-1x−
1這些數，那麼它的子區間不一定有；如果它的子區間有，那麼它一定有。
所以，我們對於劃分出來的這些區間，分別求一下mex
mexme
x即可。如果這些mex
mexme
x都不等於x
xx，那麼這些大區間的子區間顯然都無法滿足要求。
可以發現，對於不同的x
xx，劃分出來的區間的數量的級別只有n
nn。於是，我們只需要完成下面這種操作: ⌊
\lfloor⌊nn
n次查詢一段區間的mex
mexme
x⌉\rceil
⌉。對於這種查詢一段區間的mex
mexme
x的題目，我們有乙個套路:莫隊。
然後，每次我們單點修改(add/delete)，區間查詢mex
mexme
x的時候直接線段樹上二分即可。
修改的時間複雜度是o(n
nlogn
)o(n \sqrt n \log n)
o(nn
logn)
，查詢的時間複雜度為o(n
logn)
o(n \log n)
o(nlogn)
，總時間複雜度為o(n
nlogn
)o(n \sqrt n \log n)
o(nn
logn)
。由於資料範圍是n≤1
05
n≤10^5
n≤10
5，無法通過。
可以發現，修改操作足足有n
nn \sqrt n
nn個，而查詢操作只有o(n
)o(n)
o(n)
個。但是，用線段樹做修改與查詢操作都是單次log
\log
log級別的，那我們能不能「犧牲查詢的複雜度，來優化修改操作的複雜度」呢？
答案是可以的，分塊可以搞定。對於每次修改，由於是單點的，我們直接o(1
)o(1)
o(1)
打上標記即可；對於一次查詢，我們掃一遍所有的塊，如果這一塊沒有被填滿，顯然mex
mexme
x的值在這一塊內；然後我們暴力掃瞄一下這一塊即可。
單次修改的複雜度為o(1
)o(1)
o(1)
，單次查詢的複雜度為o(n
)o(\sqrt n)
o(n)。
總時間複雜度o(n
n)
o(n \sqrt n)
o(nn)
，本題被完美解決。
毫無疑問，這是一道絕世好題。而duy
iduyi
duyi
巨佬能切掉這題，足見他之神仙；而我卻冥思苦想1h1h
1h，只想到了第乙個par
tpart
part
中的東西，足見我有多菜。
我們從mex
mexme
x的定義本身，考慮轉化為「查詢是否存在乙個區間的mex
mexme
x等於x
xx」，又通過貪心的決策包容性，轉化為了「查詢一段區間的mex
mexme
x」，緊接著使用經典的莫隊套權值線段樹上二分來得到了本題的「正解」，可惜時間複雜度多了乙個log
\log
log。最後，根據乙個套路，我們考慮到了「根號平衡」，即對於「修改與查詢不平均」的問題都可以考慮下分塊是否可以優化。
dylstxdy!
咕咕咕
膜拜神牛 LIS
在n nn個二元組 ai bi a i,b i ai b i 中選擇若干個，使得被選擇的任意兩個二元組i,j i,ji,j均不滿足ai aj a i leq a j ai aj 且bi b jb i leq b j bi bj 考慮把一維為關鍵字公升序排序，這樣就轉變成另一維的lis lisli s...
膜拜神牛 LIS
在nn 個二元組 ai bi ai bi 中選擇若干個，使得被選擇的任意兩個二元組i,j i,j均不滿足ai ajai aj 且bi bjbi bj 考慮把一維為關鍵字公升序排序，這樣就轉變成另一維的lis lis問題了。但是需要考慮其中一維關鍵字相同時的情況。顯然此時將另一位降序排列即可。incl...
nssl 1336 膜拜神牛
d es crip tion description descri ptio n 給定長度為n nn的序列a aa和b bb，若滿足ai aj a i geq a j ai aj 且bi b jb i leq b j bi bj 則i,ji,j i,j互相膜拜，求最大的互不膜拜集合 資料範圍 n 1...