乙個簡單的動態規劃問題小偷案例

前言

一、案例描述

二、問題分析

三、**示例

總結動態規劃是一種演算法技巧，先舉乙個例子：

如何讓乙個四歲的小孩理解動態規劃的思路？國外友人有這樣乙個例子：列出乙個1+1+1+1+1+1+1+1=？的式子，讓小孩回答，小孩思索數秒後會告訴你答案是8。隨後在前面再多寫乙個+1，再提問答案是多少，小孩會瞬間告訴你是9，問小孩為什麼這麼快就能得到答案，他會告訴你，因為只需要再加乙個1就可以了。

這裡面就包含了動態規劃的思想：將待求解的問題分成若干個子問題，從子問題的求解得到原問題的解，而在這個過程中，已經求解過的子問題，其解是已經被記錄下的，這樣就能避免很多重複的計算。下面我們看乙個具體的簡單案例。

乙個小偷準備挨家挨戶進行偷竊，每一家都有一些能偷到的金額值，但是不能連續進入相鄰的兩間房屋，否則會被發現。將這個設定抽象成乙個陣列，每家擁有的金額組成乙個非負的整型陣列，在不被發現的情況下，計算小偷能偷到的最大數額。

例如[1,2,5,3,4,8,2]，那麼最大值就是：第一家（1）+第三家（5）+第六家（8）=14.

先來分析一些特殊情況：

①.假如只有一間房屋，那麼小偷只能偷竊該房間，那麼最大值就是該房間裡的金額值。

②.假如有兩間房屋，那麼兩間房屋裡，哪間房屋的金額值高，其值就是小偷能偷到的最大值。

那麼，當房間數量大於2時，由於小偷不能進入相鄰的房間：

①.假如小偷進入了第x間房，則他必然沒有進入x-1間房，最高金額sum就等於前面x-2間房中的最大總金額值加上第x間房裡的金額值。

②.假如小偷沒有進入第x間房，那麼最高金額sum就等於前面x-1間房裡的最高總金額。

於是，x任取的情況下，小偷進入第x間房屋和沒有進入第x間房屋這兩種情景就涵蓋了這個案例的題解。

即最高金額總值，就是這兩種情況中的更大的那個值。用 sum[i] 來表示前 i 間房屋裡能偷到的最大金額值，用cash [i]來表示第 i 間房裡的金額，根據上面的分析可以得到下面的關係式（狀態轉移方程）：

sum[i] = max(sum[i-2]+cash[i] , sum[i-1])

再把前面分析的特殊情況作為邊界條件考慮進去：

①. sum[0] = cash[0] ---------------------------房間數為1時

②. sum[1] = max(cash[0] ,cash [1]) ------ 房間數為2時

這樣，假設有n間房屋，那麼最後總值陣列中的最大值就是 sum[n-1] .

將上述的思路轉化為**如下：

public
static
introb
(int
cash)
//一間房屋的情況，該房間內的金額就是最大值，直接返回該值
if(cash.length ==1)
//建立乙個用於儲存最大總和值的陣列 sum
int len = cash.length;
int[
] sum =
newint
[len]
;//給定sum的邊界條件，房間數為1和2時
sum[0]
= cash[0]
;        sum[1]
= math.
max(cash[0]
, cash[1]
);//從房間數為3開始，最大總值陣列的每乙個元素值應該滿足以下的狀態轉移方程
for(
int i =
2; i < len; i++
)//遍歷完陣列，也就找到了最大值.
return sum[sum.length -1]
;}

測試上述方法，比如就將我們前面列舉的陣列[1,2,5,3,4,8,2]代入方法裡。

public
static
void
main
(string[
] args)
;int x =
rob(cash)
;        system.out.
println
("小偷能偷到的最大金額為："
+x);
}

執行結果如下：

這就是乙個簡單的案例，解題方法體現了動態規劃的思想。動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中，可能會有許多可行解。每乙個解都對應於乙個值，我們希望找到具有最優值的解。這時候將問題分成很多子問題，並且求出子問題的解，用乙個容器（本例中的陣列）來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果記錄在容器中，避免重複計算，這就是動態規劃法的基本思路。

乙個簡單的動態規劃問題小偷案例

乙個簡單的動態規劃題

動態規劃乙個簡單爬梯子問題

C 處理乙個動態規劃的問題

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