l2-norm: （ridge回歸）
l1-norm: （lasso回歸）
l1-norm 和 l2-norm都能防止過擬合，一般l2-norm的效能更好一些。l1-norm能夠進行特選擇對資料進行降維 產生稀疏模型，能夠幫助我們去除某些特徵，因此可以用於特徵選擇。
l1-norm 和 l2-norm都能防止過擬合，一般l2-norm的效果更好一些。l1-norm能夠產生稀疏模型，能夠幫助我們去除某些特徵，因此可以用於特徵選擇。
l1-norm 和 l2-norm的直觀理解：摘自
機器學習中幾乎都可以看到損失函式後面會新增乙個額外項，常用的額外項一般有兩種，一般英文稱作ℓ1-norm和ℓ2-norm，中文稱作l1正則化和l2正則化，或者l1範數和l2範數。
l1正則化和l2正則化可以看做是損失函式的懲罰項。所謂『懲罰』是指對損失函式中的某些引數做一些限制。對於線性回歸模型，使用l1正則化的模型建叫做lasso回歸，使用l2正則化的模型叫做ridge回歸（嶺回歸）。下圖是python中lasso回歸的損失函式，式中加號後面一項α||w||1即為l1正則化項。
下圖是python中ridge回歸的損失函式，式中加號後面一項α||w||22即為l2正則化項。
一般回歸分析中回歸w表示特徵的係數，從上式可以看到正則化項是對係數做了處理（限制）。l1正則化和l2正則化的說明如下：
一般都會在正則化項之前新增乙個係數，python中用α表示，一些文章也用λ表示。這個係數需要使用者指定。
那新增l1和l2正則化有什麼用？下面是l1正則化和l2正則化的作用，這些表述可以在很多文章中找到。
上面提到l1正則化有助於生成乙個稀疏權值矩陣，進而可以用於特徵選擇。為什麼要生成乙個稀疏矩陣？
稀疏矩陣指的是很多元素為0，只有少數元素是非零值的矩陣，即得到的線性回歸模型的大部分係數都是0. 通常機器學習中特徵數量很多，例如文字處理時，如果將乙個片語（term）作為乙個特徵，那麼特徵數量會達到上萬個（bigram）。在**或分類時，那麼多特徵顯然難以選擇，但是如果代入這些特徵得到的模型是乙個稀疏模型，表示只有少數特徵對這個模型有貢獻，絕大部分特徵是沒有貢獻的，或者貢獻微小（因為它們前面的係數是0或者是很小的值，即使去掉對模型也沒有什麼影響），此時我們就可以只關注係數是非零值的特徵。這就是稀疏模型與特徵選擇的關係。
這部分內容將解釋為什麼l1正則化可以產生稀疏模型（l1是怎麼讓係數等於零的），以及為什麼l2正則化可以防止過擬合。
假設有如下帶l1正則化的損失函式：
j=j0+α∑w|w|(1)
其中j0是原始的損失函式，加號後面的一項是l1正則化項，α是正則化係數。注意到l1正則化是權值的絕對值之和，j是帶有絕對值符號的函式，因此j是不完全可微的。機器學習的任務就是要通過一些方法（比如梯度下降）求出損失函式的最小值。當我們在原始損失函式j0後新增l1正則化項時，相當於對j0做了乙個約束。令l=α∑w|w|，則j=j0+l，此時我們的任務變成在l約束下求出j0取最小值的解。考慮二維的情況，即只有兩個權值w1和w2，此時l=|w1|+|w2|對於梯度下降法，求解j0的過程可以畫出等值線，同時l1正則化的函式l也可以在w1w2的二維平面上畫出來。如下圖：
圖1 l1正則化
圖中等值線是j0的等值線，黑色方形是l函式的圖形。在圖中，當j0等值線與l圖形首次相交的地方就是最優解。上圖中j0與l在l的乙個頂點處相交，這個頂點就是最優解。注意到這個頂點的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直觀想象，因為l函式有很多『突出的角』（二維情況下四個，多維情況下更多），j0與這些角接觸的機率會遠大於與l其它部位接觸的機率，而在這些角上，會有很多權值等於0，這就是為什麼l1正則化可以產生稀疏模型，進而可以用於特徵選擇。
而正則化前面的係數α，可以控制l圖形的大小。α越小，l的圖形越大（上圖中的黑色方框）；α越大，l的圖形就越小，可以小到黑色方框只超出原點範圍一點點，這是最優點的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。
類似，假設有如下帶l2正則化的損失函式：
j=j0+α∑ww2(2)
同樣可以畫出他們在二維平面上的圖形，如下：
圖2 l2正則化
二維平面下l2正則化的函式圖形是個圓，與方形相比，被磨去了稜角。因此j0與l相交時使得w1或w2等於零的機率小了許多，這就是為什麼l2正則化不具有稀疏性的原因。
擬合過程中通常都傾向於讓權值盡可能小，最後構造乙個所有引數都比較小的模型。因為一般認為引數值小的模型比較簡單，能適應不同的資料集，也在一定程度上避免了過擬合現象。可以設想一下對於乙個線性回歸方程，若引數很大，那麼只要資料偏移一點點，就會對結果造成很大的影響；但如果引數足夠小，資料偏移得多一點也不會對結果造成什麼影響，專業一點的說法是『抗擾動能力強』。
那為什麼l2正則化可以獲得值很小的引數？
以線性回歸中的梯度下降法為例。假設要求的引數為θ，hθ(x)是我們的假設函式，那麼線性回歸的代價函式如下：
j(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))(3)
那麼在梯度下降法中，最終用於迭代計算引數θ的迭代式為：
θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4)
其中α是learning rate. 上式是沒有新增l2正則化項的迭代公式，如果在原始代價函式之後新增l2正則化，則迭代公式會變成下面的樣子：
θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5)
其中λ就是正則化引數。從上式可以看到，與未新增l2正則化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以乙個小於1的因子，從而使得θj不斷減小，因此總得來看，θ是不斷減小的。
最開始也提到l1正則化一定程度上也可以防止過擬合。之前做了解釋，當l1的正則化係數很小時，得到的最優解會很小，可以達到和l2正則化類似的效果。
L1和L2正則化的直觀理解
這部分內容將解釋 為什麼l1正則化可以產生稀疏模型 l1是怎麼讓係數等於零的 以及為什麼l2正則化可以防止過擬合 假設有如下帶l1正則化的損失函式 j j0 w w 1 j0 是原始的損失函式，加號後面的一項是l1正則化項，是正則化係數。注意到l1正則化是權值的 絕對值之和 j 是帶有絕對值符號的函...
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L1和L2正則化
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