boundary
題意：
2d平面上n個點，求這些點落在經過原點(0,0)的圓上的最大數量
思路：
有很多解法。
（1）比賽時根據圓的標準式 (x−
a)2+
(y−b
)2=r
2(x-a)^+(y-b)^=r^2
(x−a)2
+(y−
b)2=
r2又因為圓過原點 (0,
0)(0,0)
(0,0
) ，所以 r2=
a2+b
2r^2=a^2+b^2
r2=a2+
b2結合兩個式子進行化簡可得：x2+
y2=2
ax+2
byx^2+y^2=2ax+2by
x2+y2=
2ax+
2by選取兩個點 (x1
,y1)
,(x2
,y2)
(x_1,y_1),(x_2,y_2)
(x1,y
1),
(x2
,y2
) 可以解方程
x_1^2+y_1^2=2ax_1+2by_1\\ x_2^2+y_2^2=2ax_2+2by_2 \end
_=\cfrac
res=cn
2=2
n(n−
1)所以，答案 n=⌊
res×
2⌋+1
n=⌊\sqrt⌋+1
n=⌊res
×2⌋
+1注意：1、統計最大次數不可以用map，map會邊插入邊排序，原來 o(n
2)o(n^2)
o(n2
) 的複雜度就變成了 o(n
2log
n)o(n^2logn)
o(n2lo
gn) 只能過70%的資料無論是方法一還是方法二，但是官方題解複雜度也是 o(n
2log
n)o(n^2logn)
o(n2lo
gn)卻能ac就很玄學。
所以用vector存圓心，所有點列舉完後排序，使相鄰的點排在一起，統計相同點的最大次數。
2、解方程涉及除法，特判除數為0的情況，此時有兩種情況：一是 x1,
y2x1,y2
x1,y
2 或 x2,
y1x2,y1
x2,y
1 不為零，此時兩點乙個在x軸乙個在y軸上，其他情況下說明三點共線，不存在圓，方程無解。
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n =
2e3+5;
struct point
;double
dis2
(point a, point b)
point a[n]
;int
main()
else
continue;}
else}}
sort
(ans.
begin()
,ans.
end())
;int res =
0, cnt =0;
pair<
double
,double
> tmp = ans[0]
;for
(auto i: ans)
else
} res =
max(cnt, res)
;printf
("%d",(
int)
sqrt
(res*2)
+1);
return0;
}
更為簡單的寫法，其實差不多，不過這裡可以用求三角形外心的模板，少了解方程裡的推公式步驟。
遍歷選取兩個點和原點組成三角形，求三角形的外心並將點存起來，找出被覆蓋最多次數的點即為圓心，次數的意義和方法（1）一樣，是在圓上的點組成的多邊形的邊數，得到邊數後求(int)sqrt(ans*2) +1就是答案。
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
typedef pair<
double
,double
> p;
const
int n =
2005
;struct point
;point a[n]
;vector
cc;inline
void
getc
(const point& p1,
const point& p2,
const point& p3, p& center)
//求三角形外心
intmain()
}}sort
(cc.
begin()
,cc.
end())
;int ans =
0, cnt =0;
p tmp = cc[0]
;for
(auto i: cc)
else
} ans =
max(cnt, ans)
;printf
("%d"
,int
(sqrt
(ans*2)
)+1)
;return0;
}
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