赫夫曼樹和赫夫曼編碼

以下內容主要參考了嚴蔚敏版的資料結構教材。

赫夫曼樹又叫做最優樹，是一類帶權路徑長度最短的樹，這裡討論的是最優二叉樹。

假設現在有n個權值w1,

w2,.

..,w

nw_1,w_2,...,w_n

w1,w2

,..

.,wn

，如何構造一顆有n個葉子節點的二叉樹使得二叉樹的帶權路徑長度（∑k=

1nwk

∗lk\sum_^n w_k*l_k

∑k=1n

wk∗

lk）最小，其中w1,

w2,.

..,w

nw_1,w_2,...,w_n

w1,w2

,..

.,wn

分別是n個葉子節點的權值l1,

l2,.

..,l

nl_1,l_2,...,l_n

l1,l2

,..

.,ln

分別是n個葉子節點的路徑長度（即樹根到該節點的分支數目）。這樣額的二叉樹叫做最優二叉樹或赫夫曼樹。

構造赫夫曼樹的演算法如下：

根據給定的n個權值w1,

w2,.

..,w

nw_1,w_2,...,w_n

w1,w2

,..

.,wn

構成n顆二叉樹的集合f

=f=\

f=，此時每棵二叉樹都只有乙個權值為w

iw_i

wi的根節點，左右子樹均為空。

在集合f中選取兩顆根節點的權值最小的二叉樹作為左右子樹構建一顆新的二叉樹，新的二叉樹的根節點的權值為左右兩顆子樹的根節點權值的和。

在集合f中刪除這兩顆二叉樹同時將新建立的二叉樹加入到集合f中。

重複步驟2和3直到f中只有一顆二叉樹時為止。此時即為所求。

圖1是乙個簡單的例子，測試程式也是在該例子上進行測試的。

最優二叉樹的乙個應用是設計二進位制字首編碼。字首編碼是一種不等長的編碼，對於每個要編碼的字元其對應的編碼長度不同且每乙個字元的編碼都不是另乙個字元對應的編碼的字首。這樣便於解碼。可以將出現頻率較高的字元編碼較少的位數，將出現頻率較低的字元編碼較多的位數，這樣可以使得整體要傳送的資料減少，提高了效率。用最優二叉樹來設計二進位制字首編碼比較簡單，將字元出現的頻率當做權重，來構建相應的最優二叉樹，然後將二叉樹左分支的邊設為編碼』0』，右分支的邊設為編碼』1』。之後再從根節點到相應葉子節點的字串就是葉子節點對應的字元的二進位制字首編碼。

class
huffmannode
void
setweight
(int value)
void
setparent
(int value)
void
setleftchild
(int value)
void
setrightchild
(int value)
intgetweight()
intgetparent()
intgetleftchild()
intgetrightchild()
};class
huffmantree
elseif(
(nodes[i]
.getparent()
==0)&&
(countparentzero ==1)
)}elseif(
(nodes[i]
.getparent()
==0)&&
(countparentzero >1)
)elseif(
(nodes[temps1]
.getweight()
< nodes[i]
.getweight()
)&&(nodes[i]
.getweight()
<= nodes[temps2]
.getweight()
))countparentzero++;}
}		s1=temps1;
s2=temps2;
return;}
public
:huffmantree
(int leafnodenum,vector<
int> leafnodeweight)
}void
printcodingup()
}void
printcodingdown()
}void
printtree()
}void
constructtree()
}//從葉子節點開始求每個字元的huffman編碼
void
huffmancodingup()
else
}//因為是從葉子節點開始求每個字元的huffman編碼，求得編碼後需要將編碼逆序
reverse
(currentcode.
begin()
, currentcode.
end())
;			huffmancodeup.
push_back
(currentcode)
;			currentcode.
clear()
;}}//從根節點開始求每個字元的huffman編碼
void
huffmancodingdown()
while
(currentnodeindex!=0)
//如果乙個節點的左右子樹都為空則為葉子節點，得到相應節點的編碼字串
else
if(temptreenodes[currentnodeindex]
.getrightchild()
==0)}
//節點已經被訪問過一次，向右邊進發
else
if(temptreenodes[currentnodeindex]
.getweight()
==1)}
//節點已經被訪問過兩次則返回其父節點
else}}}};

//測試程式
intmain()

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赫夫曼樹與赫夫曼編碼

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