資料結構與演算法解析 「遞迴」篇

遞迴，在數學與電腦科學中，是指在函式的定義中使用函式自身的方法。也就是說，遞迴演算法是一種直接或者間接呼叫自身函式或者方法的演算法。

遞迴是一種應用非常廣泛的演算法（或者程式設計技巧）。很多資料結構和演算法的編碼實現都要用到遞迴，比如 dfs 深度優先搜尋、前中後序二叉樹遍歷等等。

去的過程叫「遞」，回來的過程叫「歸」。基本上，所有的遞迴問題都可以用遞推公式來表示。

諸如

f

(n)=
f(n-1)
+1 其中，f(1)=1

intf(

int n)

只要同時滿足以下三個條件，就可以用遞迴來解決。

重點！！！：寫遞迴**最關鍵的是寫出遞推公式，找到終止條件，剩下將遞推公式轉化為**就很簡單了。

來個例子

假如這裡有 n 個台階，每次你可以跨 1 個台階或者 2 個台階，請問走這 n 個台階有多少種走法？

可以根據第一步的走法把所有走法分為兩類，第一類是第一步走了 1 個台階，另一類是第一步走了 2 個台階。所以 n 個台階的走法就等於先走 1 階後，n-1 個台階的走法 加上先走 2 階後，n-2 個台階的走法。用公式表示就是：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了遞推公式，遞迴**基本上就完成了一半。我們再來看下終止條件。當有乙個台階時，我們不需要再繼續遞迴，就只有一種走法。所以 f(1)=1。這個遞迴終止條件足夠嗎？我們可以用 n=2，n=3 這樣比較小的數試驗一下。

n=2 時，f(2)=f(1)+f(0)。如果遞迴終止條件只有乙個 f(1)=1，那 f(2) 就無法求解了。所以除了 f(1)=1 這乙個遞迴終止條件外，還要有 f(0)=1，表示走 0 個台階有一種走法，不過這樣子看起來就不符合正常的邏輯思維了。所以，我們可以把 f(2)=2 作為一種終止條件，表示走 2 個台階，有兩種走法，一步走完或者分兩步來走。

所以，遞迴終止條件就是 f(1)=1，f(2)=2。這個時候，你可以再拿 n=3，n=4 來驗證一下，這個終止條件是否足夠並且正確。

我們把遞迴終止條件和剛剛得到的遞推公式放到一起就是這樣的：

f(1) = 1;

f(2) = 2;

f(n) = f(n-1)+f(n-2);

有了這個公式，我們轉化成遞迴**就簡單多了。最終的遞迴**是這樣的：

int f(int n)

但是，當我們面對的是乙個問題要分解為多個子問題的情況，遞迴**就沒那麼好理解了。

對於分解成多個子問題的情況，人腦幾乎沒辦法把整個「遞」和「歸」的過程一步一步都想清楚。

計算機擅長做重複的事情，所以遞迴正和它的胃口。而我們人腦更喜歡平鋪直敘的思維方式。當我們看到遞迴時，我們總想把遞迴平鋪展開，腦子裡就會迴圈，一層一層往下調，然後再一層一層返回，試圖想搞清楚計算機每一步都是怎麼執行的，這樣就很容易被繞進去。

對於遞迴**，這種試圖想清楚整個遞和歸過程的做法，實際上是進入了乙個思維誤區。很多時候，我們理解起來比較吃力，主要原因就是自己給自己製造了這種理解障礙。

那正確的思維方式應該是怎樣的呢？

如果乙個問題 a 可以分解為若干子問題 b、c、d，你可以假設子問題 b、c、d 已經解決，在此基礎上思考如何解決問題 a。而且，你只需要思考問題 a 與子問題 b、c、d 兩層之間的關係即可，不需要一層一層往下思考子問題與子子問題，子子問題與子子子問題之間的關係。遮蔽掉遞迴細節，這樣子理解起來就簡單多了。

因此，編寫遞迴**的關鍵是，只要遇到遞迴，我們就把它抽象成乙個遞推公式，不用想一層層的呼叫關係，不要試圖用人腦去分解遞迴的每個步驟。

遞迴有利有弊，利是遞迴**的表達力很強，寫起來非常簡潔；而弊就是空間複雜度高、有堆疊溢位的風險、存在重複計算、過多的函式呼叫會耗時較多等問題。所以，在開發過程中，我們要根據實際情況來選擇是否需要用遞迴的方式來實現。

一般來說：遞迴**一般可以使用，迭代迴圈的非遞迴寫法

爬樓梯在不使用遞迴的**如下|：

nt f

(int n)
return ret;
}

資料結構與演算法 基礎演算法篇 遞迴

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