今天學習了浮點數運算（加減乘除）。浮點數運算主要包括兩部分：指數運算和尾數運算。在ieee754標準下，指數運算就是階碼的運算，類似於無符號數運算。尾數運算是原碼運算。之前一直很疑惑為什麼前面的教材在介紹原碼運算（加減乘除）所舉的例子都是小數運算。現在猜想那部分內容可能只是為了浮點數運算做鋪墊，這裡才是主要的內容。（當然知識是不分重點的，但考試分）。下面就來詳細介紹下浮點數運算的過程吧！另外本文使用的浮點數標準均為ieee754結構，即單精度數由1位符號位，8位指數字，23位尾數字共計32位組成。
浮點數的加減運算分為5個步驟：對階、尾數相加、尾數規格化、尾數捨入處理、溢位判斷處理。下面詳細介紹：
1. 對階：
所謂對階，就是讓兩個運算元階數相同，以便進行加減。實現的方式是對較小數的尾數進行右移操作。對階的原則是向高階看齊。計算公式為：
當結果大於0說明被加數（被減數）階數高，則對加數（減數）進行移位對階。小於0則反之改變被加數（被減數）。
2. 尾數加減：
將兩個運算元的尾數相加減。值得注意的是：在ieee754標準中，對於規格化數來說在小數點前有一位隱藏位1，在加減過程中需要把它還原到尾數中。尾數加減的實質是原碼的加減，對於原碼加減的規則如下圖所示：
3. 尾數規格化：
加減完成的尾數形式未必滿足ieee754對於尾數的要求，即保留23位，小數點在第乙個1之後。需要對尾數進行左規和右規，下面介紹一下左規和右規。
左規：將尾數向左移，用於清除第乙個1前面出現的0。左規伴隨著階碼減少，在左規過程中要檢測階碼是否發生下溢，即階碼達到最小值（0000 0000）。
右規：將尾數向右移，用於兩數相加後出現向高位進製的情況。因為兩數相加最多進一位，所以右規最多一位。右規伴隨著階碼的增加，在右規過程中要檢測階碼是否發生上溢，即階碼達到最大值（1111 1111）。
4. 尾數的捨入處理：
在對階和右規的時候，最右邊的數字會被移出。為了保證最後計算的精度，把這些數字在過程中儲存，等到最後進行捨入。也就是我上文提到的附加位。有兩個問題值得注意：
1） 保留多少附加位合適？
2）最終對附加位怎麼進行捨入？
在ieee754中保留了保護位，捨入位，粘位三位作為附加位。同時對於ieee754來說最後附加位的捨入，有如下規則：
5. 溢位判斷：
在浮點數中是以階碼的溢位與否來作為評判標準的。單精度溢位分為上溢（指數大於等於127）和下溢（指數小於等於-126）。
插一句：「之前一直以為下溢的指數是-149，這個數字**於-126再把所有的尾數向右移，當到達-149時剛剛好所有尾數全部為零，即表示零。這個誤區在於沒有正確的區分規格化數和非規格化數。對於規格化數而言，下溢就是-126，所以規格化數表示的最小值為1.00…乘2的-126次方，而0~0.111…乘2的-126次方就是非規格化數表示的範圍。-149正是非規格化數表示的最小範圍。這裡貼一張圖，更加便於理解。
下面直接貼上乙個書上的例項，對以上過程進一步加深了解：
浮點數乘除和定點數乘除相同，在正式運算前會對運算元進行預處理。對於乘法如果有乙個運算元為0則結果為0。對於浮點數除法，若被除數為0，則結果為0。除數為0分兩種情況，第一種是被除數非零，第二種是被除數為0。下面著重介紹一下兩種除數為0：
除數為0，被除數不為0：
結果為無窮大。在ieee 754標準下就是階碼全為1，尾數全為0。c語言輸出如下圖：
除數為0，被除數為0：
結果是nan（not a number)。在ieee 754標準下就是階碼全為1，尾數非0。在c語言中輸出如下圖：
注：在windows系統下，-1.#ind00即代表nan，linux系統下會輸出nan。
下面詳細介紹無特殊情況浮點數的乘除運算：
浮點數乘除運算公式如下圖：
1.浮點數的乘法：
1）尾數相乘，指數相加：
尾數相乘即為原碼相乘，這個具體的過程請參考另一篇文章：定點數運算（於文末給出**）。值得注意的是，對於規格化浮點數要記得恢復隱藏位。指數相加可以直接運用移碼的計算方法：
2）尾數規格化：
對於兩個運算元的尾數一定都是大於1的（隱藏位導致），所以最終得到的結果，小數點前會有兩位共三種情況（01，11，10）。若為01則不需規格化，11和10則需右規一位。注意對於ieee754標準浮點數乘法不需要左規。
3）尾數捨入處理：
兩個小數相乘，尾數自然更多，但位置是有限的，需要對尾數進行捨入，具體的捨入規則參照浮點數加減的捨入規則即可。
乘法的溢位有兩種可能：階碼相加減時，以及尾數右規時。右規與上文相同，下面介紹一下階碼溢位的判斷標準：
注：eb是最終的結果，ex和ey是運算元的指數值。
2.浮點數除法：
浮點數除法大致分為4步：尾數相除階相減、尾數規格化、尾數捨入、溢位判斷處理。由於除法大部分與乘法相似，所以此處只列出不同部分。
在尾數相除階相減過程中，尾數除法也在上文引用那篇文章中有具體介紹。階碼相減的運算公式如下：
在尾數規格化步驟中：當除法運算完成後，若小數點前為0，則需進行左規以保證小數點前具有隱藏位1。
對於除法階碼溢位判斷的規則如下：
注：eb為最終結果指數，exey為運算元指數。
補充：在《程式是怎樣跑起來的？》書中，對於階碼為什麼使用0-127做了乙個原因的解釋：在計算機中，使用excess系統的方法來同時儲存正數和負數。這裡面的0-127就是增加幻數之後的數字。幻數選擇了127，可記為excess_127。
本篇文章對於浮點數運算進行了介紹，因為作者水平有限，可能某些地方理解錯誤，請高手不吝賜教，批評指正，謝謝！
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