洛谷 Daniel13265 的公開賽 A 替換

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題目背景

替換永遠比刪除更徹底。

daniel13265 有一串由各種漂亮的貝殼組成的項鍊，但由於各種原因，這個項鍊不是環形的，而僅僅是用一根普通的絲線串起來的。項鍊上的每個貝殼都有乙個好看程度 ai，相同種類的貝殼有著相同的好看程度，而不同種類的貝殼有著不同的好看程度。

danie13265 定義， 第 l 個至第 r 個這一段貝殼是對稱的，當且僅當

∑ i=

lr(a

i−al

+r−i

)2=0

\sum_^r(a_i-a_)^2=0

i=l∑r​

(ai​

−al+

r−i​

)2=0

daniel13265 經常從中取出一段貝殼。如果這一段貝殼是對稱的，他就會非常高興；如果這一段貝殼不是對稱的，那麼他會將其中的某些貝殼替換成新的，以使得這一段貝殼成為對稱的。一次替換可以任意地改變任何乙個位置上貝殼的好看程度，但是過多的替換會使這一段貝殼脫離原本的模樣，所以 daniel13265 至多會進行 k 次替換。如果一段貝殼在進行至多 k 次替換後能夠成為對稱的，那麼 daniel13265 就稱這一段貝殼是「可觀賞的」。

daniel13265 簡單地將第 l 個至第 r 個這一「可觀賞的」的貝殼段的「觀賞指數」定義為

∏ i=

lrai

\prod_^r a_i

i=l∏r​

ai​其中 ai 表示第 i 個貝殼原本的好看程度。

他現在很好奇，在這個貝殼組成的項鍊中，「可觀賞的」貝殼段中「觀賞指數」的最大值。但是由於這個值可能很大，所以你只需要求出它對 109+7 取模後的結果即可。

輸入格式

輸入共 2 行。

第一行兩個正整數 n,k，表示這個貝殼組成的項鍊中貝殼的數目與 daniel13265 對一段貝殼最多進行替換的次數。

第二行 n 個用單個空格隔開的正整數，第 i 個數 ai表示項鍊上第 i 個貝殼的好看程度。

輸出一行乙個非負整數，表示「可觀賞的」貝殼段中「觀賞指數」的最大值對 109+7 取模後的結果。

輸入#1

7 1

1 2 4 2 3 3 4

6 1

3 1 2 250000002 1 2

樣例解釋#1

「可觀賞的」貝殼段有 [1],[2],[3],[4],[1,2],[2,3],[2,4],[3,3],[3,4],[4,2],[1,2,4],[2,3,3],[2,4,2],[3,3,4],[4,2,3],[2,3,3,4],[4,2,3,3,4]，其中「觀賞指數」最大的貝殼段為 [4,2,3,3,4]。

「可觀賞的」的貝殼段中「觀賞指數」最大的為 [2,250000002,1,2]，其值為 109+8，對 109+7 取模後結果為 1。

對於 100% 的資料，滿足 1 ≤ n ≤ 1000，0 ≤ k ≤ n，1 ≤ ai ≤ 109+7

這道題，作為a題，題幹著實有點恐怖，簡直成了數學小作文閱讀理解，剛開始就勸退好多人（包括我）

（後來題面看了一輪，又回來了… ）

咳咳，那麼這個題幹到底講了啥呢。in short:（寫到這裡突然尬住，到底講啥了呢（撓頭） ）

①有一串由貝殼組成的項鍊（非環），每個貝殼有乙個「好看程度」，ai

②定義，l 至 r 段貝殼是對稱的，當且僅當（上面那個和式成立）

我們小學二年級就學過：若平方項的和為0，則每一平方項均為0

即，ai==al+r-i，而 i 從 l 開始遞增，也就是說 l~r 段關於中軸對稱（物理上的對稱）

③一次替換可以改變任意貝殼的「好看程度」，假如一段貝殼經過 k 次替換後，是對稱的，

則稱 l~r 這一段貝殼為「可觀賞的」（有種機翻的趕腳？ ）

④定義一段「可觀賞的」貝殼的「觀賞指數」為這一段貝殼「好看程度」的連乘積（上式）

⑤求表示「可觀賞的」貝殼段中「觀賞指數」的最大值對 109+7 取模後的結果

實際上並未真正替換

注意：最大值的取模，而非取模的最大值

假·分析

這題寫著好累啊（咋這麼多字）

首先，乍一看雖然有點複雜，但好在n不是很大，思路也挺簡單：

雙重for迴圈，外層列舉區間長度len，內層列舉區間左端點 l，計算該區間是否能在k次替換內成為對稱的

如果能，則計算連乘積，並與最大值做取捨，複雜度o(n2)，還是可以承受的。

然後你就會看到乙個又大又紅的wa(wa地一聲哭出來)

真·分析

「醉翁之意不在酒」啊，這出題人是真的黑

那麼一大坨題幹根本就不是重點，主要問題是這個資料範圍(1 ≤ ai ≤ 109+7)(1 ≤ n ≤ 1000)

要命了這可是連乘積啊，(109+7)1000，打個折109000，這可真是，玉皇大帝來了都沒轍

想啥呢，乘起來？桃子

所以作者說要模上109+7，但卻是先求最大值再取模，先取模會改變大小關係

也就是說，擺在我們面前的問題是：如何在不求值的情況下，比較兩個連乘積的大小

而且最大值無法用特定值表示，改用區間形式(int l, r)

此時，有兩種辦法：

①取對數

log10(a*b*…*z)==log10(a)+log10(b)+…+log10(z)

這時，109000 便轉化為9000，用double比較大小不在話下。

但是，有乙個問題，log10()函式計算效率不盡如人意，如果每次直接計算，勢必超時(血的教訓)

此時我們可以發現，計算存在冗餘，可以採用預處理出對數陣列的方式解決

②兩個連乘積中的每一項相除，拆分比較

例：a=a*b*c

b=d*e*f*g*h

t=(a/d)*(b*e)*(c/f)

while(t>=1)t/=g;…t/=h;

if(t>1)a>b;

實質上是比較a/b，做商，拆項可以防止溢位

兩種方法都是o(n)地掃瞄陣列，但除法比log更快，所以可以直接計算，無需預處理（這還真不好預處理），開了o2優化後時間大概在700ms左右，卡得死死的。不開就炸了。

當然我覺得第一種更好(200ms)，（第二種是比賽時我的暴力美學…先寫上再說）

這裡採用取對數的方法(賽後補的一發)(更短一些)

"talk is cheap. show me the code."

#include

#include
typedef
long
long ll;
const
int maxn =
1e3+5;
const
int mod =
1e9+7;
int a[maxn]
;double log[maxn]
;struct node 
;int
main
(void);
for(
int len =
1; len <= n; len++
)for
(int i =
1; i <= n - len +
1; i++)if
(cnt <= k);}
}	ll res =1;
for(
int i = max.l; i <= max.r; i++
)		res *
= a[i]
, res %
= mod;
printf
("%lld\n"
, res % mod)
;return0;
}

4 5 Daniel13265 的公開賽

4.5 daniel13265 的公開賽 題目鏈結 官方題解 戳這裡居然沒有官方 暴力做法 分奇偶形式的對稱數列，1e3資料 n2搞定，但是wa了 不知道為啥qwq include include include const int mod 1e9 7 using namespace std int...

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