在講快速冪之前，先看一道如何不用快速冪來解決的問題。
求 aba^b
ab的最後三位數表示的整數。 說明：a
ba^b
ab的含義是 「a 的 b 次方」
long
pow(
long base,
long pow)
return res %
1000
;}
glong
long
呢，嘻嘻。下面求解一下 a=3
，b
=100
a = 3，b = 100
a=3，b=
100 的答案：竟然是 0？為什麼 ? 不急，我們慢慢分析。我們很早就知道了什麼是指數。
指數：在乘方 a 中，其中的 a 叫做底數，n 叫做指數，結果叫冪。f(n
)=an
f(n)=a^n
f(n)=a
n， 隨著 n 單位長度的遞增，f(n
)f(n)
f(n)
會呈「**性」增長。乙個有趣的故事：
一張紙對折一次，厚度變成原來的2倍。再對折第二次，變為原來的2的2次方倍即4倍。以此類推，假設紙的厚度為0.1mm，則對折24次以後，長度超過1千公尺；對折39次達55000千公尺，超過地球赤道長度；對折42次達44萬千公尺，超過地球至月球的距離；對折51次達22億千公尺，超過地球至太陽的距離；對折82次為51113光年，超過銀河系半徑的長度。我們知道了，原來 3
1003^
3100
的結果太大了，資料產生了溢位，得到的結果是 0。
先了解一下取模的運算規則：
( a + b )
% c =
(( a % c )
+( b % c )
)% c
( a * b )
% c =
(( a % c )
*( b % c )
)% c //看這裡
( a – b )
% c =
(( a % c ) – ( b % c )
)% c
(a*b*c)
% d =
((a%d)
*(b%d)
*(c%d)
)% d;
long
pow(
long base,
long pow)
return res;
}
1003^
3100
這樣的小資料量，這種演算法還是可以的，嘻嘻。
如果要求 2
1000000000
2^21
0000
0000
0 次方，將需要更加高效的演算法才能滿足時限需求。
快速冪演算法的核心思想就是：把指數分成兩半，而相應的底數做平方運算。這樣不僅能把非常大的指數給不斷變小，所需要執行的迴圈次數也變小，而最後表示的結果仍然是正確的。
看一下下面的例子：
指數由 10 縮減一半變成了 5，而底數變成了原來的平方，求 3
103^
310 原本需要執行 10 次迴圈操作，求 9
59^5
95卻只需要執行 5 次迴圈操作，但是 3^ 卻等於 9
59^5
95，我們用一次（底數做平方操作）的操作減少了原本一半的計算量。
如何把指數 5 變成原來的一半，5 是乙個奇數，5 的一半是 2.5，但是我們知道，指數不能為小數，怎麼辦？我們知 同底數相乘 == 底數不變指數相加。
此時，我們發現指數又變成了乙個奇數 1，按照上面對指數為奇數的操作方法，應該抽出了乙個底數的一次方，這裡即為 65611
6561^1
6561
1，這個 65611
6561^1
6561
1 我們先單獨移出來，但是此時指數卻變成了 0，也就意味著我們無法再進行「縮指數」操作了。
9 是怎麼產生的？是不是當指數為奇數 5 時 ，此時底數為 9。那 6561 又是怎麼產生的呢？是不是當指數為奇數 1 時，此時的底數為 6561。我們發現了乙個規律：最後求出的冪結果實際上就是在變化過程中所有當指數為奇數時底數的乘積。
private
static
long
fastpow
(long base,
long pow)
else
}return res;
}
if..
. pow /=
2;
else..
. pow -=
1;
例如當 pow 是奇數 5 時，pow
−1=4
pow -1=4
pow−1=
4，pow2
=2
\cfrac=2
2pow=
2 。而如果我們直接用 pow
2\cfrac
2pow ===5
2\cfrac
25 在整型運算中得到的結果是一樣的。
private
static
long
fastpow
(long base,
long pow)
base *= base;
pow /=2;
}return res;
}
private
static
long
fastpow
(long base,
long pow)
base *= base;
pow >>=1;
}return res;
}
long
quick
(long b,
long p,
long m)
b = b * b % m;
p >>=1;
}return res;
}
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