n gram 語言模型的平滑技術

1. 統計語言模型

首先乙個句子的概率 p(s)：

但是存在兩個問題：

2. n-gram模型

為了解決第乙個問題引入馬爾科夫假設（markov assumption）：乙個詞的出現僅與它之前的若干個詞有關：

然後利用極大似然估計（maximum likelihood estimation，mle）計算每一項的頻數，例如：

3. 資料平滑處理

n-gram最大的問題就是稀疏問題（sparsity）：很多詞語組合在語料庫中都沒有出現，根據極大似然估計得到的組合概率將會是0，從而整個句子的概率就會為0。最後的結果是，我們的模型只能計算零星的幾個句子的概率，而大部分的句子算得的概率是0，這顯然是不合理的。

因此，我們要進行資料平滑（data smoothing），資料平滑的目的有兩個：

資料平滑的本質是重新分配整個概率空間，使已經出現過的n-gram的概率降低，補充給未曾出現過的n-gram。

主要有如下平滑處理方法：

3.1 拉普拉斯平滑（laplace smoothing）

add-one

拉普拉斯平滑-add-one，即強制讓所有的n-gram至少出現一次，只需要在分子和分母上分別做加法即可（分母上的v是n-gram句子概率的乘積項的個數，相當於加了1的總個數）。這個方法的弊端是，大部分n-gram都是沒有出現過的，很容易為他們分配過多的概率空間。

在add-one的基礎上做了一點小改動，原本是加一，現在加上乙個小於1的常數kkk。但是缺點是這個常數仍然需要人工確定，對於不同的語料庫kkk可能不同。

3.2 古德圖靈(good-turing)估計法

基本思想是：用觀察計數較高的n元語法數重新估計概率量的大小，並把它指派給那些具有零計數或者較低計數的n元語法。

c ∗=

(c+1

)nc+

1ncc^*=(c+1) \frac}

c∗=(c+

1)nc

nc+

c*是good-turing平滑計數，c是某個n元語法出現的頻數，nc是出現次數為c的n-gram片語的個數，是頻數的頻數，如下所示：

n c=

∑b:c

(b)=

c1n_c=\sum\limits_ 1

nc=b:

c(b)

=c∑

1如何使用古德圖靈估計法，舉個例子

資料如下所示：

訓練集合：t=, |t|=8  
驗證集合：v=, |v|=12

不實用任何平滑技術來計算各單詞的概率，在訓練集合上，我們得到：

p() = p(it) = p(small) = p(?) = 1/8=0.125, 
p(what) = p(is) = 2/8=0.25，
其他為0。

如果不經過平滑處理，則驗證集上兩句子的概率分別為：

p(what is it ?) =（0.25*2）*（0.125*2）≈ 0.001  
p(it is flying .) = 0.125 * 0.25 *（0*2）= 0

現在用古德-圖靈演算法進行平滑處理，如下：

（1）. 計算nc，依次為

n(0)=6, n(1)=4, n(2)=2, n(i)=0 ,i>2。
也就是說：
首先測試集中的詞有（）這6個不在訓練集中的，所以n(0)=6。
測試集中的詞有（,it,small,>）這4個在訓練集出現過1次，所以n(1)=4
測試集中的詞有（what,is）這2個在訓練集出現過2次，所以n(2)=2
測試集中的詞有0個在訓練集**現次數大於2，所以n(i>2)=0。

（2）. 重新估計各平滑後的值c*。

對於發生0次的事件：

c*(.)=c*(flying)=c*(birds)=c*(are)=c*(bird)=c*(a)=(0+1)*n(0+1)/n(0)=1*4/6≈0.667                
對於發生1次的事件：
c*(it)=c*(s)=c*(small)=c*(?)=(1+1)*n(1+1)/n(1)=2*2/4=1     
對於發生2次的事件：
c*(what)=c*(is)=(2+1)*n(2+1)/n(2)=3*0/2=0，保持原值c*(what)=c*(is)=n(2)=2

（3）. 歸一化的概率：

p`(it)=p`(s)=p`(small)=p`(?)=1/12 ≈0.083       
p`(what)=p`(is)= 2/12 ≈0.167      
p`(.)=p`(flying)=p`(birds)=p`(are)=p`(bird)=p`(a) = 0.667/12≈0.056

因此

p`(what is it?) = 0.167 * 0.167 * 0.083 * 0.083 ≈ 0.00001921
p`(it is flying.) = 0.083 * 0.167 * 0.056 * 0.056 ≈ 0.0000434681

古德圖靈法屬於減值法，還有其他幾種減值法：katz後退法、絕對減值法、線性減值法。

n gram 語言模型的平滑技術

N Gram語言模型

語言模型（N Gram）

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