摘要
機器學習方法近年來在許多不同的領域受到廣泛的關注，本文回顧機器學習在量子多體物理中應用中的代表性的例子，著重討論了機器學習方法對於解決量子多體物理中的「指數牆」困難的可能的潛在意義。此外，量子多體物理中的若干方法和思想反過來可能對理解機器學習領域面臨的核心問題有著重要的啟發作用。
1 引言
物理世界是由相互作用的多粒子系統組成的，量子多體物理研究這種相互作用系統的新奇量子關聯效應及其物理機理，是高溫超導、量子霍爾效應、量子磁性等凝聚態物理前沿領域中的核心問題，在量子控制和量子資訊、超冷原子物理、原子核物理與格點規範場等領域的發展中起著至關重要的作用。系統的希爾伯特空間維度會隨著系統尺度增加指數發散，這為量子關聯系統尤其是強關聯系統的量子多體波函式的描述以及相關物理量的計算帶來了本質性的困難，此即是所謂的「指數牆」困難。針對這一困難，人們也做了不少工作，但是各自還存在其侷限性。例如，針對低維的強關係系統，人們設計了密度矩陣重整化群方法來研究這一系統的基態和低能激發態的性質，但是難以推廣到高維。針對另一類強關聯問題，如相互作用的玻色子系統或沒有阻挫的量子磁性系統，物理學家借鑑經典統計物理中蒙特卡洛方法中重要的抽樣思想，發展了量子蒙特卡洛方法，用以研究這類系統的基態和熱力學平衡性質。但是在高溫超導等領域用此方法會導致負符號問題。一種好的量子多體計算方法是能夠從具有指數多資訊的多體波函式中，利用系統本身所具有的某些特性，提取少量的人們關心的物理量，如能量、關聯函式、序參量等重要資訊的方法。
2 機器學習演算法介紹
主要介紹了人工神經網路的前饋神經網路。乙個人工神經網路本質上可以看成乙個函式擬合器。
3 機器學習在量子多體物理中的應用
量子多體物理的研究物件是大量微觀粒子的集體行為，即從巨量的資訊（每個粒子的微光狀態，或量子多體波函式）中提取出關鍵的特徵量，即物理可觀測量（序參量、關聯函式、能量等）。量子多體物理面臨的最大可困難是待處理系統的資訊量（希爾伯特空間維數）會隨著系統尺寸指數發散。
3.1 訓練機器學會區分物質的不同量子或經典相
凝聚態物理的研究物件是物質的相和相變。在熱力學極限下，不同的相一般具有不同的自發對稱破缺，通過相應的序參量來刻畫。這些序參量可以反映出資料共性的物理量，從而刻畫出多體關聯系統的巨集觀行為。機器學習具有一定的泛化能力，能將從某個系統中學到的知識應用到乙個全新的系統中。例如二維鐵磁ising模型，先對二維正方格點上的ising模型進行訓練，機器會自動抽取出自發磁化這一概念作為序參量來區分鐵磁相和高溫順磁相。訓練後用到三角格點上任然有用。對非平庸的拓撲量子態不能用局域的序參量來刻畫，物理學家希望能通過機器學習學會這些非局域的拓撲資訊，包括拓撲量子數等。這些都是監督學習，也又無監督學習應用的探索，根據資料本身隱含的結構，按照一定的方法對它們進行自動分類，如主成分分析方法能夠將屬於不同相的態空間中的點自動分開，並從中自動得出自發磁化這一物理概念。這類基於無監督學習的機器學習方法本質上是一種空間降維的方法，有望被用來發現新的物質態。
3.2 加速現有粒子多體演算法和發現新演算法
推薦系統深入到電子商務和人類生活的方方面面，比如購物**會對使用者的購物歷史記錄進行建模，並推薦給使用者更多可能感興趣的產品。在量子蒙特卡洛中，要對不同的蒙特卡洛構型按照其重要性進行隨機抽樣，然而對於許多困難的量子多體問題，生成樣本的效率往往很低。可以用推薦系統的思想對樣本進行推薦，提高蒙特卡洛抽樣的效率。物理學家將機器學習方法與經典蒙特卡洛方法相結合，發現機器可以重新「發明」出蒙特卡洛中的「團簇更新」的演算法，甚至能發現尚未被人類發明的高效更新演算法。
機器學習方法在演算法上的另乙個例子是密度泛函理論。該理論從理論上避免了處理量子多體波函式，而將基態電子密度放在核心地位。原則上存在乙個唯一且普適的密度泛函。密度泛函中包含了能動泛函和交換關聯泛函。因此可以想到用機器學習方法來擬合密度泛函的想法。具體地可以分別擬合動能泛函與交換關聯泛函。由於動能泛函只涉及到求解不同外勢場下的無相互作用問題，乙個準確的動能泛函允許人們開展純粹基於密度的「無軌道」密度泛函理論的計算（orbital free dft），從而很好的優化尋找材料的速度。
機器學習方法的另乙個重要應用在材料的發現與設計。在傳統的第一性原理材料計算中，人們通過求解薛丁格方程，建立了材料微觀結構（多體哈密頓量）與巨集觀（熱、力、電學等）性質的對應關係，但是這一過程往往會耗費大量的計算資源。通過對大量材料的微觀組成結構與材料巨集觀性質的資料庫，通過機器學習模擬函式，就可以得到從微觀結構到巨集觀性質這一函式的近似形式，不用求解薛丁格方程。
3.3 為量子多體波函式提供一種新的描述
任意乙個人工神經網路可以看成乙個變分波函式，輸入是基，輸出是波函式在這個基上的投影。通過調節網路引數，希望該波函式可以逼近精確的基態波函式。例如通過限制玻爾茲曼機作為變分波函式，求解集中典型的量子磁性模型的基態。但是阻挫磁性系統和相互作用費公尺子系統仍然是乙個未解之謎。
4 多體物理在機器學習中的應用
現在的機器學習過程很多時候都是當作乙個「黑箱作業」。對於機器學習方法成功運用的例子，成功的原因是什麼？如何將這種成功推廣到類似的問題中？對於失敗的例子，為什麼會失敗？如何系統地進行改進？物理學家試圖從物理學的角度對這些問題給出答案。例如，從統計物理學的角度，物理學家發現機器學習方法和重整化群方法可能存在某種深刻的聯絡。重整化方法是統計物理中研究相變點附近臨界行為的重要手段，通過對系統不斷地做標度變換和重整化，抽取出反映相變點附近普適行為的重要物理量，即臨界指數。其他方面的重要應用還包括：從量子糾纏的角度重新闡述神經網路的結構；將量子多體方法如矩陣乘積態直接用到影象識別等機器學習中的重要問題上。
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各種機器學習方法的優缺點
樸素貝葉斯的優點 對小規模的資料表現很好，適合多分類任務，適合增量式訓練。缺點 對輸入資料的表達形式很敏感。決策樹的優點 計算量簡單，可解釋性強，比較適合處理有缺失屬性值的樣本，能夠處理不相關的特徵 缺點 容易過擬合 後續出現了隨機森林，減小了過擬合現象 logistic回歸優點 1 實現簡單 2 ...