微分方程
圖與網路
插值就是求取函式ln(
x)
l_n(x)
ln(x)
，使得ln(
xi)=
yi
l_n(x_i)=y_i
ln(xi
)=y
i。多項式插值主要包括拉格朗日插值多項式、牛頓插值、埃爾公尺特插值，以及有分段線性插值、分段埃爾公尺特插值、三次樣條插值（在每乙個小區間為3次多項式）等。
matlab中一維插值函式如下：
y=interp1(x0,y0,x,『method』)其中x0和y0為插值節點橫縱座標列表，x為待插值節點的橫座標，method可以為『nearest』 （最近項插值）、『linear』 （線性插值）、『spline』 （三次樣條插值）
逼近主要有最佳一致逼近、最佳平方逼近，用乙個多項式函式去近似乙個現有的函式，使誤差最小。
擬合是用乙個函式去近似幾個已知點，使誤差最小。插值可看成一種特殊的曲線擬合問題----過擬合。函式polyfit()用於多項式擬合，如下例。
x0=
[1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996];
y0=[
70122
144152
174196
202];a=
polyfit
(x0,y0,1)
y97=
polyval
(a,1997
)y98=
polyval
(a,1998
)
比如在乙個數學問題中，物體在海水中下墜，設位移為s，受到重力、浮力和海水阻力的作用，其中，阻力和速度成正比。可利用matlab如下求解：
syms m v rho g k %質量、體積、水密度、重力加速度、阻力係數
s=dsolve
('m*d2s-m*g+rho*g*v+k*ds'
,'s(0)=0,ds(0)=0');
s=subs
(s,,);
%替換變數成為數值
s=vpa
(s,10
)%引數保留十位有效數字，得到位移函式
比如，求解y′=
f(x,
y)=−
2y+2
x2+2
xy'=f(x,y)=-2y+2x^2+2x
y′=f(x
,y)=
−2y+
2x2+
2x，其中x
xx範圍[0,0.5]，初值y(0
)=
1y(0)=1
y(0)=1
。
f=@(x,y)-2
*y+2
*x^2+2
*x;[x,y]
=ode45
(f,[0,
0.5],1
)%得到區間內一些等距節點的座標
比如，求解x2+
y+(x
−2y)
y′=0
x^2 + y + (x − 2y) y'= 0
x2+y+(
x−2y
)y′=
0，自變數x
xx，沒有初值條件。
syms x y
diff_equ=
'x^2+y+(x-2*y)*dy=0'
;dsolve
(diff_equ,
'x')
ans =
x/2+
((4*x^3)
/3+ x^
2+ c1)^(
1/2)
/2x/2-(
(4*x^3)/
3+ x^
2+ c1)^(
1/2)
/2
w =
[.41
.99.51
.32.15
.45.38
.32.36
.29.21];
dg =
sparse([
6122
3445
561]
,[26
3541
6343
5],w)%構造有向圖
h =view
(biograph
(dg,
,'showweights'
,'on'))
%視覺化
[dist,path,pred]
=graphshortestpath
(dg,1,
6)%1到6的最短路徑，輸出距離和路徑
%顯示路徑
set(h.
nodes
(path)
,'color',[
10.4
0.4]
)edges =
getedgesbynodeid
(h,get
(h.nodes
(path)
,'id'))
;set
(edges,
'linecolor',[
100]
)set
(edges,
'linewidth'
,1.5
)
w =
[.41
.99.51
.32.15
.45.38
.32.36
.29.21];
dg =
sparse([
6122
3445
561]
,[26
3541
6343
5],w);
ug =
tril
(dg+dg')
h =view
(biograph
(ug,
,'showarrows'
,'off'
,'showweights'
,'on'))
[dist,path,pred]
=graphshortestpath
(ug,1,
6,'directed'
,false
)set
(h.nodes
(path)
,'color',[
10.4
0.4]
)fowedges =
getedgesbynodeid
(h,get
(h.nodes
(path)
,'id'))
;revedges =
getedgesbynodeid
(h,get
(h.nodes
(fliplr
(path)),
'id'))
;edges =
[fowedges;revedges]
;set
(edges,
'linecolor',[
100]
)set
(edges,
'linewidth'
,1.5
)
matlab例程：
cm =
sparse([
1122
3345
],[2
3454
566]
,[23
3111
23],
6,6)
;%容量網路
view
(biograph
(cm,
,'showweights'
,'on'))
%顯示圖
[m,f,k]
=graphmaxflow
(cm,1,
6)%返回最大流，流量網路
view
(biograph
(f,,
'showweights'
,'on'))
%顯示
Matlab與數學建模
數學建模中，時常用到matlab畫圖，而繪製雙縱軸圖形有一定難度，在此提供一種雙縱軸繪圖函式 plotyy。具體 如下 t 0 0.02 pi 7 x cos t y exp t ax,ha,hb plotyy t,x,t,y ax 153.0322 156,0292 ha 155.1194 hb ...
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