3傅利葉轉換取點
4快速傅利葉轉換
5程式eiπ-1=0;
i=(-1)1/2，就是虛數。
寫個方程
y=eix;
求導 y』=ieix;
如果把y看做向量，那麼y』則垂直於y,也就是垂直於實軸；
通常，導數可以看做y增長的速度；
那麼二次導數可以看做加速度；
求二次導 y』』=-1eix;
可以看出加速度垂直於速度，那麼這個y點，將做圓周運動；
由於導數的絕對值是1，所以當x=x1時，y點將走過一段長為x1的圓弧，當x=π時，剛好轉了半圈，所以才有
eiπ-1=0;
然後所以得出
eix=cos(x)+isin(x),x=[0,2π];
可以把復平面中的乘法理解為旋轉；
eia*eib=ei(a+b);
也就是複數相乘，等於模相乘，弧度相加，但在這裡，模都是1，所以只有弧度相加。
f(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn;
這是係數表示法
如果這樣的兩個多項式相乘，就會很麻煩，要算n2次，所以要把多項式轉化成一些點，然後將點相乘，就可以簡單點，只需算n次；
我們可以用幾個點來確定這個多項式，最簡單的情況就是告訴你兩個點，你可以確定一條直線，f(x)=a0+a1x,這條直線有a0,a1，兩個未知數，你可以用兩個點確定。
那麼對於f(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn;
你可以用n+1個點確定(從0到n)。
舉個例子
a(x)=a0+a1x;
由(x1,ya1),(x2,ya2)確定；
b(x)=b0+b1x
;由(x1,yb1),(x2,yb2)確定；
a(x) * b(x)=c(x)=c0+c1x+c2x2;
你把兩條直線相乘可以得到一條二次函式線（拋物線），你把a,b兩條直線的兩個點對應的y值相乘，可以得到位於c曲線上的兩個點
(x1,yc1),(x2,yc2),yc1=ya1 *yb2 , yc2=ya2 *yb2;
那麼很顯然，c有三個未知數（c0,c1,c2),需要三個點才能確定。
所以儘管你可以用兩個點確定這條直線，但為了用點值相乘後的點確定這條拋物線，你還是需要在這條直線上選取3個點才行。
所以a(x)=a0+a1x+…+anxn;
b(x)=b0+b1x+…+bmxm;
a(x)*b(x)=c(x)=c0+c1x+…cn+mxn+m;
c由m+n+1個點確定（從0到m+n)；
所以a和b要取各m+n+1個點
(x1,ya1),(x2,ya2)…(xm+n+1,yam+n+1)
(x1,yb1),(x2,yb2)…(xm+n+1,ybm+n+1)
你按正常方法算這些點的y值也是很麻煩的
ya1=a0+a1x1+…+anx1
n;算乙個點就需要加n次
況且你需要算n+m+1個點；
所以我們選用傅利葉轉換的方法取點，
因為待會可以將其公升級為快速傅利葉轉換（fft);
傅利葉轉換取點是在復平面上取點，尤拉公式是在復平面上的乙個圓，
eix=cos(x)+isin(x),x=[0,2π];
我們要取m+n+1個點，也就是說需要m+n+1個x；
那我們就把這個圓用m+n+1個點平分，每乙個點代表乙個x的值；
設乙個t=(2π/(m+n+1)),那麼每一段弧度為eit,
設w=eit，我們可以將其稱為單位弧度；
這次的x我們從0來編號（因為在圓中，2π=0）；
x0=w0，
ya0=a0+a1(w0)+a2(w0)2+…+an(w0)n;
yb0=b0+b1(w0)+b2(w0)2+…+bm(w0)m
下面以此類推，將w0換成w1,w2等
x1=w1;
x2=w2..
.xn+m=wm+n;
為什麼要這麼取點呢，因為除了可以fft外，還可以由點確定系數值時方便一些，你肯定不希望通過聯立方程組來求未知數吧。
傅利葉逆轉換就是由點確定係數
先不進行相乘，先只是傅利葉轉換然後逆轉換；
那麼只取n+1個點就行了
這裡t=2π/(n+1),w=eit;
y0=a0+a1(w0)+a2(w0)2+…+an(w0)n=σi=0
n(ai(w0)i);
y1=σi=0
n(ai(w1)i);
y2=σi=0
n(ai(w2)i);..
yn=σi=0
n(ai(wn)i);
然後再設乙個多項式
p(x)=y0+y1x+y2x2+…+ynxn;
然後先說乙個結論，
p(w-i)=ai/(n+1);
形象理解一下，p(x)一共有n+1項，每一項都含有ai（其餘的a會相互抵消）,所以要除(n+1),然後它為什麼會等於ai呢，
舉個例子『
p(w-2)=a2/(n+1);
p(w-2)=σi=0
n(ai(w0)i)+σi=0
n(ai(w1)i)(w-2)1+σi=0
n(ai(w2)i)(w-2)2+…+σi=0
n(ai(wn)i)*(w-2)n;
會發現，當每一項的i=2時，其對應的a2的係數都會為一，可以說每一項的a2都「恰好被轉回來了」，而其他的a的係數會相互抵消，假設n=4,然後以a3的係數被抵消為例，
第1項的a3的係數為1；
第2項的a3的係數為(w1)3 *(w-2)1=w1;
第3項的a3的係數為(w2)3 *(w-2)2=w2;
第4項的a3的係數為(w3)3 *(w-2)3=w3;
第5項的a3的係數為(w4)3 *(w-2)4=w4;
w=ei(2π/5);
這五個數在復平面上的點剛好是正五邊形的五個頂點，畫個圖試試，把這五個數代表的復平面向量加起來，剛好為零。
所以這個傅利葉逆轉換可以理解為，所求的係數剛好都被剛好「逆轉」到了實數軸，其他的係數散落在負平面上的圓上，其點組成的圖形的重心在圓心，所以互相抵消為零。
主要快在取點上，從這裡開始，多項式一共有n項，且n為2的整數次冪；
舉個例子，假設n=8；
a(x)=a0+a1x1+a2x2+…+a7x7;
y0=a0+a2+a4+a6 + a1+a3+a5+a7;
y4的，我就直接把w4(w=ei(2π/8))帶進去算出來
y4=a0+a2+a4+a6 - a1-a3-a5-a7;
y2=a0+a4-a2-a6 +w2(a1+a5-a3-a7);
y6=a0+a4-a2-a6 -w2(a1+a5-a3-a7);
把每個y分為兩部分,a下標為偶數一部分，奇數一部分。
y=(a0+a2x2+a4x4+a6x6)+x(a1+a3x2+a5x4+a7x6);
而wi=-wi+n/2;
yi=x+y;
yi+n/2=x-y;i<=n/2;
所以我們只求出一半的y就可以直接得出另一半，既然可以這樣那我們得寸進尺只求出一半的一半就可以了,再少一點…
仔細觀察y0與y2
y0=a0+a2+a4+a6 + a1+a3+a5+a7;
y2=a0+a4-a2-a6 +x(a1+a5-a3-a7);
所以，一半的一半
y=(a0+a4x4+x2(a2+a6x4))+x(a1+a5x4+x2(a3+a7x4));
然後一直二分，複雜度只有nlogn;
所以我們先求最小的一部分然後兩兩合併…
快速逆轉換也和這個一樣，只是係數變了；
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