洛谷 P1116 車廂重組

題目描述：

在乙個舊式的火車站旁邊有一座橋，其橋面可以繞河中心的橋墩水平旋轉。乙個車站的職工發現橋的長度最多能容納兩節車廂，如果將橋旋轉180

18018

0度，則可以把相鄰兩節車廂的位置交換，用這種方法可以重新排列車廂的順序。於是他就負責用這座橋將進站的車廂按車廂號從小到大排列。他退休後，火車站決定將這一工作自動化，其中一項重要的工作是編乙個程式，輸入初始的車廂順序，計算最少用多少步就能將車廂排序。

輸入格式：

共兩行。第一行是車廂總數n(≤

10000

)n( \le 10000)

n(≤100

00)。第二行是n

nn個不同的數表示初始的車廂順序。

輸出格式：

乙個整數，最少的旋轉次數。

題目的本質是，給定乙個正整數序列，只允許交換相鄰數字的順序，問至少交換多少次，可以將整個序列排好序。這道題本質上是求逆序對個數（逆序對指某兩個數字大數排在小數之前）。而求逆序對個數，有個經典的演算法，也就是歸併排序。**如下：

#
include
using
namespace std;
const
int n =
1e4+10;
int n;
int a[n]
, tmp[n]
;int res =0;
void
merge
(int l,
int mid,
int r)
while
(i <= mid) tmp[idx++
]= a[i++];
while
(j <= r) tmp[idx++
]= a[j++];
for(
int k = l; k <= r; k++
) a[k]
= tmp[k];}
void
merge_sort
(int l,
int r)
intmain()

時間複雜度o(n

log⁡n)

o(n\log n)

o(nlogn)

，空間複雜度o(n

)o(n)

o(n)

，歸併時需要個臨時陣列。

演算法正確性證明：

首先證明最小交換次數r

rr確實等於逆序對總數sss：

由於交換相鄰兩個數，逆序對至多減少1

11個，而逆序對數等於0

00等價於已經由小到大排好序，所以r≥s

r\ge s

r≥s。由氣泡排序的過程知道，我們可以做到每次交換相鄰兩個數，都使得逆序數減少1

11，所以r

rr是可以取到s

ss的。所以r=s

r=sr=

s。其次證明，上述歸併排序的過程，的確算出了逆序對數。先證明每次歸併的時候，res

resre

s都計入了當前被歸併序列的逆序數。設f(x

1,x2

,...

,xn)

f(x_1,x_2,...,x_n)

f(x1,

x2,

...,

xn)

為向量(x1

,x2,

...,

)(x_1,x_2,...,x_n)

(x1,x

2,.

..,x

n)的逆序對總數，容易證明遞推式：f(x

1,x2

,...

,xn)

=f(x

1,..

.,xi

−1)+

f(xi

,...

,xn)

+∣

∣f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1,...,x_)+f(x_,...,x_n)+\\|\|

f(x1,

x2,

...,

xn)

=f(x

1,.

..,x

i−1

)+f(

xi,

...,

xn)

+∣∣符號說明：對於集合s

ss，∣s∣

|s|∣s

∣表示s

ss中元素個數。而在每次歸併的時候，右邊前兩項都為0

00，而第三項可以在歸併的時候統計：如果index1指向的數小於等於index2指向的數，那麼沒有產生逆序，否則index1直到mid的數都與index2指向的數產生了逆序對，產生出mid-index1+1個逆序對。每次歸併完成後，所歸併的那一段序列的逆序對全被消滅，說明了所有逆序對的計數都含在了變數res裡。

現在可以證明演算法的正確性了。先證明merge_sort函式將[left,right]之間的數的逆序數計入了res，並將區間內數排好序。對區間內數的數量做歸納。當只有1

11個數的時候，結論正確。假設對1,.

..,n

−1

1,..., n-1

1,...,

n−1結論都正確，當區間內有n

nn個數的時候，由於[left,mid]和[mid+1,right]內個數都嚴格小於n

nn，由歸納假設，對左右兩半邊做merge_sort後，都達到了效果，再加上merge函式計入了分屬兩半邊的數產生的逆序數，就得到了總逆序數。由數學歸納法，所以結論對任何n

nn都成立。正確性也得到了證明。

複雜度證明可以由master定理得到。

洛谷 P1116 車廂重組

洛谷 P1116 車廂重組

洛谷P1116 車廂重組

P1116 車廂重組

相關推薦