恢復訓練。
有一棵樹，節點個數 n
≤1000
n \le 1000
n≤1000
。初始每個點都是白色，每次等概率選乙個點，把他和與他直接相連的點染成黑色。
求將整棵樹染成黑色的期望步數。
首先，設 p
ip_i
pi 表示染了 i
ii 次還沒有把整棵樹全部染黑的概率。
所求的答案可以轉化為
∑ i=
0+∞p
i\sum_^p_i
i=0∑+∞
pi
因為假如沒有染黑，那麼肯定至少要再多走一步。
假如我們列舉前 i
ii 步被選過的節點集合 s
ss ，ps,
ip_
ps,i
表示 i
ii 次染色，每次選擇的節點組成集合 s
ss ，並且沒有把整棵樹染黑的概率，那麼答案就是
∑ i=
0+∞∑
sps,
i\sum_^\sum_p_
i=0∑+∞
s∑
ps,i
然後考慮求 ps,
ip_
ps,i 。
對於集合 s
ss， ps,
ip_
ps,i
表示 i
ii 步，每步等概率選集合中的乙個數，將集合內的每個元素至少選一遍的概率。
這個東西可以容斥做，將其轉換為至多 k
kk 個元素至少被選了一遍。
所以最後需要解決的就是樹上大小為 ∣s∣
|s|∣s
∣ 並且選擇這些點並不會染黑整棵樹的集合 s
ss 的個數。樹型 dp 。
答案表示如下
∑ k=
0ncn
tk∑t
=0k(
nm)⋅
(−1)
k−t⋅
∑i=0
+∞(t
n)
i\sum_^cnt_k\sum_^\cdot (-1)^\cdot\sum_^(\frac)^i
k=0∑n
cntk
t=0
∑k(
mn)
⋅(−1
)k−t
⋅i=0
∑+∞
(nt
)i複雜度 o(n
2)
o(n^2)
o(n2) 。
#include
using
namespace std;
const
int n =
1000+10
, m = n <<
1, mod =
998244353
;const
int trans[3]
[3]=
,,};
int n;
int h[n]
, ecnt, v[m]
, nxt[m]
;int fac[n]
, ifac[n]
, inv[n]
;int siz[n]
, f[n]
[n][3]
, tmp[n][3
], a[n]
, ans;
void
_add
(int x,
int y)
intfpow
(int x,
int y)
return ret;
}void
init
(int n)
intc
(int n,
int m)
void
dfs(
int u,
int fa)
}int
main()
memset
(f,0
,sizeof f)
;dfs(1
,0);
for(
int i =
0; i <= n;
++ i)
a[i]=(
(c(n, i)
- f[1]
[i][0]
- f[1]
[i][1]
)% mod + mod)
% mod;
for(
int k =
0; k <= n;
++ k)
ans =
(ans + mod)
% mod;
cout << ans << endl;
return0;
}
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