TSOJ課程 24 1426 分數數列2

題目描述：

已知乙個分數數列的如下：1/2,3/5,4/7,6/10,8/13,9/15,…。輸入該數列的第n項，輸出對應項的值（用分數表示）

其中0輸入描述：多組輸入，每組輸入乙個正整數n，表示該數列的第n項

輸出描述：

對應於每組輸入，輸出該項對應的分數表示的值。

樣例輸入：

樣例輸出：

3253/5264

這道題**倒是不難，主要是研究這個數列究竟是什麼規律。那麼這道題就變成了一道小學找規律題。

那麼，如何快速的發現這道題的數列規律呢？這裡教大家乙個野路子，如果感興趣的可以看一看，不感興趣的略過即可。

大部分的oj系統都是可以檢視其他人做這道題的結果的，我們查詢一下這道題的ac（就是通過的）資料，發現絕大部分的人通過的耗時都是20ms~40ms。

在oj裡，這個耗時可以反映出你的演算法的時間複雜度，如果說這道題的數列是有通項公式的，那麼一般耗時都是o(1)或者o(n)，也就是0ms，但是通過的**都有耗時，說明要麼通項公式裡混有高時間複雜度（至少為o(n)）的項（比如組合數、階乘），要麼就說明式子根本沒有通項公式。順著這兩個思路去思考，式子很快就出來了。

那麼如果查詢的結果發現基本上都是0ms，那麼就從通項公式的角度去思考，也能很快的得到答案。

下面正式講解規律的尋找：

首先，乙個數列可能存在不止乙個規律，我們的目標就是能找乙個是乙個，然後再根據已經找到的規律繼續找。首先這個數列最顯眼最一眼能看出來的，就是分子和分母的差。很明顯：第乙個數字的分子減分母是1，第二個為2，第三個為3……然後再根據題目給出的第2011項確認一下，第2011項差2011，說明這個規律是正確的。

接下來我們順著這個思路去找，既然分子和分母的值是相對確定的（即確定了其中乙個就能確定另外乙個），那麼我們就想辦法確定其中乙個。我們敏銳的發現，分子似乎從來都不重複，分母也是，所以我們猜測：分子可能是從來沒有使用過的數字之中最小的那個。比如說第二項的分子3，就是因為1和2都被用過了，所以用了3，而第三項的分子4，是因為1、2、3、5都被用過了，所以選擇了4。我們在不考慮執行速度的情況下寫乙個**跑一下，發現2011項真的是3253/5264，那麼這道題的規律就被我們找到了。

在**部分，我用了預處理的方法。預處理主要是用來針對多組輸入的。如果題目給出的資料是多組輸入，那麼傳統的做法是每給乙個資料就算一次，這樣會出現很多重複計算。而預處理是在輸入之前就把所有的資料全部算出來，然後給什麼資料就輸出什麼資料，無論輸入的資料量有多少，執行時間都不會有太大的變化。

在接下來的題目中，我還會講到一種預處理的變體，思路是「算到哪存到哪」，從平均耗時上比預處理更優秀。

// tsoj-1426 分數數列2
#include
using
namespace std;
bool use[
10000]=
;int son[
3001]=
, father[
3001]=
;int now=0;
void
_init
(void)}
}}intmain()
return0;
}

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