前奏
第一節、求子陣列的最大和
3.求子陣列的最大和
題目描述：
輸入乙個整形陣列，陣列裡有正數也有負數。
陣列中連續的乙個或多個整數組成乙個子陣列，每個子陣列都有乙個和。
求所有子陣列的和的最大值。要求時間複雜度為o(n)。
例如輸入的陣列為1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子陣列為3, 10, -4, 7, 2，
因此輸出為該子陣列的和18。
分析：這個問題在各大公司面試**現頻率之頻繁，被人引用次數之多，非一般面試題可與之匹敵。單憑這點，就沒有理由不入選狂想曲系列中了。此題曾作為本人之前整理的微軟100題中的第3題，至今反響也很大。ok，下面，咱們來一步一步分析這個題：
1、求乙個陣列的最大子陣列和，如此序列1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，我想最最直觀也是最野蠻的辦法便是，三個for迴圈三層遍歷，求出陣列中每乙個子陣列的和，最終求出這些子陣列的最大的乙個值。
記sum[i, …, j]為陣列a中第i個元素到第j個元素的和（其中0 <= i <= j < n），遍歷所有可能的sum[i, …, j]，那麼時間複雜度為o（n^3）：
//本段**引自程式設計之美2、其實這個問題，在我之前上傳的微軟100題，答案v0.2版[第1-20題答案]，便直接給出了以下o（n）的演算法：int maxsum(int* a, int n)
if(sum > maximum)
maximum = sum;
sum=0; //這裡要記得清零，否則的話sum最終存放的是所有子陣列的和。也就是程式設計之美上所說的bug。多謝蒼狼。}}
return maximum;
}
//updated，2011.05.25.
#include
intmaxsum(
int* a,
intn)
return
sum;
} int
main()
; //int a=; //測試全是負數的用例
cout0;
} /*-------------------------------------
解釋下：
例如輸入的陣列為1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，
那麼最大的子陣列為3, 10, -4, 7, 2，
因此輸出為該子陣列的和18。
所有的東西都在以下倆行，
即：b ： 0 1 -1 3 13 9 16 18 13
sum： 0 1 1 3 13 13 16 18 18
其實演算法很簡單，當前面的幾個數，加起來後，b<0後，
把b重新賦值，置為下乙個元素，b=a[i]。
當b>sum，則更新sum=b;
若b----------------------------------*/
3、不少朋友看到上面的答案之後，認為上述思路2的**，沒有處理全是負數的情況，當全是負數的情況時，我們可以讓程式返回0，也可以讓其返回最大的那個負數，下面便是前幾日重寫的，修改後的處理全是負數情況（返回最大的負數）的**：
//july、updated，2011.05.25。
#include
#define n 4 //多定義了乙個變數
intmaxsum(
inta[n])
//於此處，你能看到上述思路2**（指標）的優勢
return
max;
} int
main()
; cout0;
}
4、dp解法的具體方程：@flyinghearts：設sum[i] 為前i個元素中，包含第i個元素且和最大的連續子陣列，result 為已找到的子陣列中和最大的。對第i+1個元素有兩種選擇：做為新子陣列的第乙個元素、放入前面找到的子陣列。
sum[i+1] = max(a[i+1], sum[i] + a[i+1])
result = max(result, sum[i])
擴充套件：
1、如果陣列是二維陣列，同樣要你求最大子陣列的和列?
2、如果是要你求子陣列的最大乘積列?
3、如果同時要求輸出子段的開始和結束列?
第二節、data structures and algorithm analysis in c
下面給出《data structures and algorithm analysis in c》中4種實現。
//感謝網友firo
//july、2010.06.05。
//algorithm 1:時間效率為o(n*n*n)
intmaxsubsequencesum1(
const
inta,
intn)
return
maxsum;
} //algorithm 2:時間效率為o(n*n)
intmaxsubsequencesum2(
const
inta,
intn)
} return
maxsum;
} //algorithm 3:時間效率為o(n*log n)
//演算法3的主要思想：採用二分策略，將序列分成左右兩份。
//那麼最長子序列有三種可能出現的情況，即
//只出現在左部分.
//只出現在右部分。
//出現在中間，同時涉及到左右兩部分。
//分情況討論之。
static
intmaxsubsum(
const
inta,
intleft,
intright)
maxrightbordersum=0;
rightbordersum=0;
for(i=center+1;i<=right;i++)
intmax1=maxleftsum>maxrightsum?maxleftsum:maxrightsum;
intmax2=maxleftbordersum+maxrightbordersum;
return
max1>max2?max1:max2;
} //algorithm 4:時間效率為o(n)
//同上述第一節中的思路3、和4。
intmaxsubsequencesum(
const
inta,
intn)
return
maxsum;
}
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