某數中某數出現的次數

2021-09-18 01:23:05 字數 1709 閱讀 7956

一、1的數目

程式設計之美上給出的規律:

1. 如果第i位(自右至左,從1開始標號)上的數字為0,則第i位可能出現1的次數由更高位決定(若沒有高位,視高位為0),等於更高位數字x當前位數的權重10i-1。

2. 如果第i位上的數字為1,則第i位上可能出現1的次數不僅受更高位影響,還受低位影響(若沒有低位,視低位為0),等於更高位數字x當前位數的權重10i-1+(低位數字+1)。

3. 如果第i位上的數字大於1,則第i位上可能出現1的次數僅由更高位決定(若沒有高位,視高位為0),等於(更高位數字+1)x當前位數的權重10i-1。

二、x的數目

這裡的 x∈[1,9],因為 x=0 不符合下列規律,需要單獨計算。

首先要知道以下的規律:

依此類推,從 1 至 10i,在它們的左數第二位(右數第 i 位)中,任意的 x 都出現了 10i−1 次。

這個規律很容易驗證,這裡不再多做說明。

接下來以 n=2593,x=5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593 中,數字 5 總計出現了 813 次,其中有 259 次出現在個位,260 次出現在十位,294 次出現在百位,0 次出現在千位。

現在依次分析這些資料,首先是個位。從 1 至 2590 中,包含了 259 個 10,因此任意的 x 都出現了 259 次。最後剩餘的三個數 2591, 2592 和 2593,因為它們最大的個位數字 3 < x,因此不會包含任何 5。(也可以這麼看,3然後是十位。從 1 至 2500 中,包含了 25 個 100,因此任意的 x 都出現了 25×10=250 次。剩下的數字是從 2501 至 2593,它們最大的十位數字 9 > x,因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。(也可以這麼看,9>x,則十位上可能出現的x的次數僅由更高位決定,等於更高位數字(25+1)x102-1=260)。

接下來是百位。從 1 至 2000 中,包含了 2 個 1000,因此任意的 x 都出現了 2×100=200 次。剩下的數字是從 2001 至 2593,它們最大的百位數字 5 == x,這時情況就略微複雜,它們的百位肯定是包含 5 的,但不會包含全部 100 個。如果把百位是 5 的數字列出來,是從 2500 至 2593,數字的個數與百位和十位數字相關,是 93+1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。(也可以這麼看,5==x,則百位上可能出現x的次數不僅受更高位影響,還受低位影響,等於更高位數字(2)x103-1+(93+1)=294)。

最後是千位。現在已經沒有更高位,因此直接看最大的千位數字 2 < x,所以不會包含任何 5。(也可以這麼看,2到此為止,已經計算出全部數字 5 的出現次數。

總結一下以上的演算法,可以看到,當計算右數第 i 位包含的 x 的個數時:

取第 i 位左邊(高位)的數字,乘以 10i−1,得到基礎值a。

取第 i 位數字,計算修正值

如果大於 x,則結果為 a+10i−1。

如果小於 x,則結果為 a。

如果等 x,則取第 i 位右邊(低位)數字,設為 b,最後結果為 a+b+1。

相應的**非常簡單,效率也非常高,時間複雜度只有 o(log10n)。

三、上**

/*** @param n

* @param x [1,9]

* @return

*/public int numberofxbetween1andn_solution(int n,int x) else if(curr

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