這篇文章不涉及數學原理上的說明，用簡單的例子說明了em演算法的出彩之處。
001、乙個非常簡單的例子
假設現在有兩枚硬幣1和2，,隨機拋擲後正面朝上概率分別為p1，p2。為了估計這兩個概率，做實驗，每次取一枚硬幣，連擲5下，記錄下結果，如下：
可以很容易地估計出p1和p2，如下：
p1 = （3+1+2）/ 15 = 0.4 p2= （2+3）/10 = 0.5
到這裡，一切似乎很美好，下面我們加大難度。
010、加入隱變數z
還是上面的問題，現在我們抹去每輪投擲時使用的硬幣標記，如下：
好了，現在我們的目標沒變，還是估計p1和p2，要怎麼做呢？ 顯然，此時我們多了乙個隱變數z，可以把它認為是乙個5維的向量（z1,z2,z3,z4,z5)，代表每次投擲時所使用的硬幣，比如z1，就代表第一輪投擲時使用的硬幣是1還是2。但是，這個變數z不知道，就無法去估計p1和p2，所以，我們必須先估計出z，然後才能進一步估計p1和p2。 但要估計z，我們又得知道p1和p2，這樣我們才能用最大似然概率法則去估計z，這不是雞生蛋和蛋生雞的問題嗎，如何破？ 答案就是先隨機初始化乙個p1和p2，用它來估計z，然後基於z，還是按照最大似然概率法則去估計新的p1和p2，如果新的p1和p2和我們初始化的p1和p2一樣，請問這說明了什麼？（此處思考1分鐘）
這說明我們初始化的p1和p2是乙個相當靠譜的估計！ 就是說，我們初始化的p1和p2，按照最大似然概率就可以估計出z，然後基於z，按照最大似然概率可以反過來估計出p1和p2，當與我們初始化的p1和p2一樣時，說明是p1和p2很有可能就是真實的值。這裡面包含了兩個互動的最大似然估計。 如果新估計出來的p1和p2和我們初始化的值差別很大，怎麼辦呢？就是繼續用新的p1和p2迭代，直至收斂。 這就是下面的em初級版。
011、em初級版 我們不妨這樣，先隨便給p1和p2賦乙個值，比如： p1 = 0.2 p2 = 0.7 然後，我們看看第一輪拋擲最可能是哪個硬幣。 如果是硬幣1，得出3正2反的概率為 0.2*0.2*0.2*0.8*0.8 = 0.00512 如果是硬幣2，得出3正2反的概率為0.7*0.7*0.7*0.3*0.3=0.03087 然後依次求出其他4輪中的相應概率。做成**如下：
按照最大似然法則： 第1輪中最有可能的是硬幣2 第2輪中最有可能的是硬幣1 第3輪中最有可能的是硬幣1 第4輪中最有可能的是硬幣2 第5輪中最有可能的是硬幣1 我們就把上面的值作為z的估計值。然後按照最大似然概率法則來估計新的p1和p2。 p1 = （2+1+2）/15 = 0.33 p2=（3+3）/10 = 0.6 設想我們是全知的神，知道每輪拋擲時的硬幣就是如本文第001部分標示的那樣，那麼，p1和p2的最大似然估計就是0.4和0.5（下文中將這兩個值稱為p1和p2的真實值）。那麼對比下我們初始化的p1和p2和新估計出的p1和p2：
看到沒？我們估計的p1和p2相比於它們的初始值，更接近它們的真實值了！ 可以期待，我們繼續按照上面的思路，用估計出的p1和p2再來估計z，再用z來估計新的p1和p2，反覆迭代下去，就可以最終得到p1 = 0.4，p2=0.5，此時無論怎樣迭代，p1和p2的值都會保持0.4和0.5不變，於是乎，我們就找到了p1和p2的最大似然估計。 這裡有兩個問題： 1、新估計出的p1和p2一定會更接近真實的p1和p2？ 答案是：沒錯，一定會更接近真實的p1和p2，數學可以證明，但這超出了本文的主題，請參閱其他書籍或文章。 2、迭代一定會收斂到真實的p1和p2嗎？ 答案是：不一定，取決於p1和p2的初始化值，上面我們之所以能收斂到p1和p2，是因為我們幸運地找到了好的初始化值。
100、em高階版 下面，我們思考下，上面的方法還有沒有改進的餘地？ 我們是用最大似然概率法則估計出的z值，然後再用z值按照最大似然概率法則估計新的p1和p2。也就是說，我們使用了乙個最可能的z值，而不是所有可能的z值。 如果考慮所有可能的z值，對每乙個z值都估計出乙個新的p1和p2，將每乙個z值概率大小作為權重，將所有新的p1和p2分別加權相加，這樣的p1和p2應該會更好一些。 所有的z值有多少個呢？顯然，有2^5=32種，需要我們進行32次估值？？ 不需要，我們可以用期望來簡化運算。
利用上面這個表，我們可以算出每輪拋擲中使用硬幣1或者使用硬幣2的概率。比如第1輪，使用硬幣1的概率是：
0.00512/(0.00512+0.03087)=0.14
使用硬幣2的概率是1-0.14=0.86
依次可以算出其他4輪的概率，如下：
上表中的右兩列表示期望值。看第一行，0.86表示，從期望的角度看，這輪拋擲使用硬幣2的概率是0.86。相比於前面的方法，我們按照最大似然概率，直接將第1輪估計為用的硬幣2，此時的我們更加謹慎，我們只說，有0.14的概率是硬幣1，有0.86的概率是硬幣2，不再是非此即彼。這樣我們在估計p1或者p2時，就可以用上全部的資料，而不是部分的資料，顯然這樣會更好一些。 這一步，我們實際上是估計出了z的概率分布，這步被稱作e步。 結合下表：
我們按照期望最大似然概率的法則來估計新的p1和p2：
以p1估計為例，第1輪的3正2反相當於 0.14*3=0.42正 0.14*2=0.28反
這裡有必要對這個進行解釋一下，因為我看到這裡的時候也有點沒轉過彎。 p1: 硬幣1拋正面的概率，如何求呢？ p1 = (用硬幣1拋正面的次數)/(用硬幣1拋的正反面所有次數)
我們平時認為次數都是整數，但這裡引入了概率，所以有了0.14 原來：要麼是硬幣1，要麼是硬幣2, 如果第一輪確定用硬幣1，則次數正面次數是3，反面是2，則p1的概率為3/(3+2)=0.6 現在：用硬幣1的概率是0.14, 所以第一輪用硬幣1拋正面的次數是0.14 * 3, 反面是0.14 * 2 現在是對「次數」 乘了 「用硬幣1的概率」，0.14僅僅是為了說明在第二輪到第五輪拋擲的時候，使用硬幣1的概率是不同的。
但本質上，還是用下面的公式在計算：
p1 = (用硬幣1拋正面的次數)/(用硬幣1拋的所有次數)
依次算出其他四輪，列表如下：
可以看到，改變了z值的估計方法後，新估計出的p1要更加接近0.4。原因就是我們使用了所有拋擲的資料，而不是之前只使用了部分的資料。
這步中，我們根據e步中求出的z的概率分布，依據最大似然概率法則去估計p1和p2，被稱作m步。
101、總結
以上，我們用乙個實際的小例子，來實際演示了em演算法背後的idea，共性存於個性之中，通過這個例子，我們可以對em演算法究竟在幹什麼有乙個深刻感性的認識，掌握em演算法的思想精髓。
英文文章：what is the expectation maximization algorithm? chuong b do & serafim batzoglou
原文文章：如何感性地理解em演算法？
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