有這麼乙個問題，初看起來人畜無害，但細思極恐，和大家分享。
將小球的速度分解為沿x軸的v_x和沿y軸的v_y。因正方形邊長等於1，不妨令v_x = eb = a，v_y = fb = b。
小球可以從e左側或者右側返回。從e左側返回時，小球沿兩軸走過的路程都是偶數。寫成方程就是：
$$\frac=\frac,\ m,n \in \mathbb.$$
因此小球從左側返回初始點的充要條件是b/a是有理數。小球從左側返回e點後，一切恢復到出發時的狀態，後續動作只能是周而復始地執行下去。設n/m=b/a是最簡分式，這個運動的週期就是2n/b。
從e右側返回時，小球沿y軸走過的路程仍是偶數，沿x軸走過的路程變成偶數加一次eb折返：
$$\frac = \frac,\ m,n \in \mathbb.$$
因此小球從右側返回初始點的充要條件是方程y/b = x/a + 1有自然數解。設最小解為x=p, y=q，則第一次從右側返回的時間就是2q/b。小球從右側出發，又從右側原路返回，故小球必在途中某點掉頭。這個點只能是角點。
注意這種情況並不要求b/a是有理數。
若b/a是有理數，則由於運動的週期性，第一次右側返回一定發生在第一次左側返回之前，且後續交替從左側和右側返回。
若b/a是無理數（例：a=√2/2，b=√2-1），則右側返回一次後小球就再也不會回到e點了。
如果b/a是無理數且方程y/b = x/a + 1無自然數解，小球出發後永遠不會返回。這種情況佔絕大多數。
通過以上討論發現，小球的運動模式完全依賴於下面這兩個方程的自然數解。
$$\frac = \frac \qquad \qquad \text$$
$$\frac = \frac + 1 \qquad \ \, \text$$
所以比如說你要是問 a=π-e, b=1/3 時，小球能返回嗎？我的答案是不知道！
通過以上討論可總結出下表。
情況解自然數方程 y/b = x/a
解自然數方程y/b = x/a + 1
週期首次返回時間
首次返回碰撞次數
碰角點總次數
1有最小解x=m,y=n
有最小解x=p,y=q
2n/b
2q/b
2(p+q)∞2
有最小解x=m,y=n
無解2n/b
2n/b
2(m+n)03
無解有最小解x=p,y=q
∞2q/b
2(p+q)14
無解無解∞∞
00圖例情況1
情況2
情況3
情況4？
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