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題目描述
有乙個n+2個元素a[0], a[1], ..., a[n+1] (n <= 3000, -1000 <= a[i] <=1000)構成的數列.
已知對i=1, 2, ..., n有a[i] = (a[i-1] + a[i+1])/2 - c[i].
給定a0, a[n+1], c[1], ... , c[n]. 寫乙個程式計算a[1].
輸入第一行是整數n. 接下來兩行是a[0]和a[n+1], 其小數點後有兩位數字. 其後的n行為c[i](同樣是兩位小數), 每行乙個數.
輸出輸出為a[1], 格式與a[0], a[n+1]相同.
樣例輸入
1
50.50
25.50
10.15
27.85解題思路:
1.列出基本遞推關係式子：
a[1] = (a[0] + a[2]) /2- c[1]
a[2] = (a[1] + a[3]) /2- c[2]
a[3] = (a[2] + a[4]) /2- c[3]
......................................
a[n] = (a[n-1] + a[n+1]) /2 -c[n]
2.要輸入資料有：n, a[0], a[n+1], 以及 c[1]~~c[n];
3.求a[1];
4.分析題目：
（1）n<=3000,說明不可以用遞迴，否則棧溢位；
（2）數列a中，輸入的是資料只是第乙個數a[0]和最後乙個數a[n+1]，用上面基本遞推式子，發現中間有好多未知量，說明得根據遞推式子，求a[1],和a[0],a[n+1],c[i]間的關係；
5.求關係
遞推關係兩遍同時乘以2，把分母2消除以便推導即：
2*a[n] = a[n-1] + a[n+1] -2*c[n]
為了推導方便先假設n=5，則有一下式子
2*a[1]=a[0]+a[2]-2*c[1]
2*a[2]=a[1]+a[3]-2*c[2]
2*a[3]=a[2]+a[4]-2*c[3]
2*a[4]=a[3]+a[5]-2*c[4]
2*a[5]=a[4]+a[6]-2*c[5]
把以上式子加起來，可消元得到：
a[1]+a[5]=a[0]+a[6]-2*(sum(1~5))
這裡sum(1~5)=c[1]+c[2]+....+c[5]
走到上面發現式子裡面還有個未知量a[5],想辦法把a[5]也消去；
返回第2步，令n=4，把式子加起來，可消元得到：
a[1]+a[4]=a[0]+a[5]-2*(sum(1~4))
再令n=3，把式子加起來，可消元得到：
a[1]+a[3]=a[0]+a[4]-2*(sum(1~3))
直到n=1
a[1]+a[1]=a[0]+a[2]-2*(sum(1~1))
把以上得到的所有式子羅列出來：
a[1] + a[5] = a[0] + a[6]- 2*(sum(1~5))
a[1] + a[4] = a[0] + a[5]- 2*(sum(1~4))
a[1] + a[3] = a[0] + a[4]- 2*(sum(1~3))
a[1] + a[2]= a[0] + a[3]- 2*(sum(1~2))
a[1] + a[1] = a[0] + a[2]- 2*(sum(1~1))
再把這些式子加起來，消元得到：
6*a[1] =5*a[0] + a[6] - 2*(sumx(1~5))
這裡sumx(1~5)=sum(1~1)+sum(1~2)+sum(1~3)...+sum(1~5) 即：
sumx(1~5)=c[1]+(c[1]+c[2])+(c[1]+c[2]+c[3])+.....+（c[1]+c[2]+..+c[5])
11.最終：a[1] = ( 5*a[0] + a[6] - 2*(sumx(1~5)) )/6
12.據歸納法當n=n時；
a[1] = ( n*a[0] + a[n+1] - 2*( sumx(1~n) ) ) / (n+1)
#include#includeusing namespace std;
double c[3010];
int main()
a1 = (n * a0 + an1 - 2 * temp) / (n + 1);
printf("%.2lf\n",a1);
return 0;
}
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