**：排序
1、氣泡排序（bubbler sort）
前面剛說了氣泡排序的壞話，但氣泡排序也有其優點，那就是好理解，穩定，再就是空間複雜度低，不需要額外開闢陣列元素的臨時儲存控制項，當然了，編寫起來也容易。
其演算法很簡單，就是比較陣列相鄰的兩個值，把大的像泡泡一樣「冒」到陣列後面去，一共要執行n的平方除以2這麼多次的比較和交換的操作（n為陣列元素），其複雜度為ο(n²)，如圖：
2、直接插入排序（straight insertion sort）
冒泡法對於已經排好序的部分（上圖中，陣列顯示為白色底色的部分）是不再訪問的，插入排序卻要，因為它的方法就是從未排序的部分中取出乙個元素，插入到已經排好序的部分去，插入的位置我是從後往前找的，這樣可以使得如果陣列本身是有序（順序）的話，速度會非常之快，不過反過來，陣列本身是逆序的話，速度也就非常之慢了，如圖：
3、二分插入排序（binary insertion sort）
這是對直接插入排序的改進，由於已排好序的部分是有序的，所以我們就能使用二分查詢法確定我們的插入位置，而不是乙個個找，除了這點，它跟插入排序沒什麼區別，至於二分查詢法見我前面的文章（本系列文章的第四篇）。圖跟上圖沒什麼差別，差別在於插入位置的確定而已，效能卻能因此得到不少改善。（效能分析後面會提到）
4、直接選擇排序（straight selection sort）
這是我在學資料結構前，自己能夠想得出來的排序法，思路很簡單，用打擂台的方式，找出最大的乙個元素，和末尾的元素交換，然後再從頭開始，查詢第1個到第n-1個元素中最大的乙個，和第n-1個元素交換……其實差不多就是冒泡法的思想，但整個過程中需要移動的元素比冒泡法要少，因此效能是比冒泡法優秀的。看圖：
5、快速排序（quick sort）
快速排序是非常優秀的排序演算法，初學者可能覺得有點難理解，其實它是一種「分而治之」的思想，把大的拆分為小的，小的再拆分為更小的，所以你一會兒從**中就能很清楚地看到，用了遞迴。如圖：
其中要選擇乙個軸值，這個軸值在理想的情況下就是中軸，中軸起的作用就是讓其左邊的元素比它小，它右邊的元素不小於它。（我用了「不小於」而不是「大於」是考慮到元素數值會有重複的情況，在**中也能看出來，如果把「>=」運算子換成「>」，將會出問題）當然，如果中軸選得不好，選了個最大元素或者最小元素，那情況就比較糟糕，我選軸值的辦法是取出第乙個元素，中間的元素和最後乙個元素，然後從這三個元素中選中間值，這已經可以應付絕大多數情況。
6、改進型快速排序（improved quick sort）
快速排序的缺點是使用了遞迴，如果資料量很大，大量的遞迴呼叫會不會導致效能下降呢？我想應該會的，所以我打算作這麼種優化，考慮到資料量很小的情況下，直接選擇排序和快速排序的效能相差無幾，那當遞迴到子陣列元素數目小於30的時候，我就是用直接選擇排序，這樣會不會提高一點效能呢？我後面分析。排序過程可以參考前面兩個圖，我就不另外畫了。
7、桶排序（bucket sort）
這是迄今為止最快的一種排序法，其時間複雜度僅為ο(n)，也就是線性複雜度！不可思議吧？但它是有條件的。舉個例子：一年的全國高考考生人數為500萬，分數使用標準分，最低100，最高900，沒有小數，你把這500萬元素的陣列排個序。我們抓住了這麼個非常特殊的條件，就能在毫秒級內完成這500萬的排序，那就是：最低100，最高900，沒有小數，那一共可出現的分數可能有多少種呢？一共有900-100+1=801，那麼多種，想想看，有沒有什麼「投機取巧」的辦法？方法就是建立801個「桶」，從頭到尾遍歷一次陣列，對不同的分數給不同的「桶」加料，比如有個考生考了500分，那麼就給500分的那個桶（下標為500-100）加1，完成後遍歷一下這個桶陣列，按照桶值，填充原陣列，100分的有1000人，於是從0填到999，都填1000，101分的有1200人，於是從1000到2019，都填入101……如圖：
很顯然，如果分數不是從100到900的整數，而是從0到2億，那就要分配2億個桶了，這是不可能的，所以桶排序有其侷限性，適合元素值集合並不大的情況。
8、基數排序（radix sort）
基數排序是對桶排序的一種改進，這種改進是讓「桶排序」適合於更大的元素值集合的情況，而不是提高效能。它的思想是這樣的，比如數值的集合是8位整數，我們很難建立一億個桶，於是我們先對這些數的個位進行類似桶排序的排序（下文且稱作「類桶排序」吧），然後再對這些數的十位進行類桶排序，再就是百位……一共做8次，當然，我說的是思路，實際上我們通常並不這麼幹，因為c++的位移運算速度是比較快，所以我們通常以「位元組」為單位進行桶排序。但下圖為了畫圖方便，我是以半位元組（4 bit）為單位進行類桶排序的，因為位元組為單位進行桶排得畫256個桶，有點難畫，如圖：
基數排序適合數值分布較廣的情況，但由於需要額外分配乙個跟原始陣列一樣大的暫存空間，它的處理也是有侷限性的，對於元素數量巨大的原始陣列而言，空間開銷較大。效能上由於要多次「類桶排序」，所以不如桶排序。但它的複雜度跟桶排序一樣，也是ο(n)，雖然它用了多次迴圈，但卻沒有迴圈巢狀。
9、效能分析和總結
先不分析複雜度為ο(n)的演算法，因為速度太快，而且有些條件限制，我們先分析前六種演算法，即：冒泡，直接插入，二分插入，直接選擇，快速排序和改進型快速排序。
我的分析過程並不複雜，嘗試產生乙個隨機數陣列，數值範圍是0到7fff，這正好可以用c++的隨機函式rand()產生隨機數來填充陣列，然後嘗試不同長度的陣列，同一種長度的陣列嘗試10次，以此得出平均值，避免過多波動，最後用excel對結果進行分析，ok，上圖了。
最差的一眼就看出來了，是冒泡，直接插入和直接選擇旗鼓相當，但我更偏向於使用直接選擇，因為思路簡單，需要移動的元素相對較少，況且速度還稍微快一點呢，從圖中看，二分插入的速度比直接插入有了較大的提公升，但**稍微長了一點點。
令人感到比較意外的是快速排序，3萬點以內的快速排序所消耗的時間幾乎可以忽略不計，速度之快，令人振奮，而改進型快速排序的線跟快速排序重合，因此不畫出來。看來要對快速排序進行單獨分析，我加大了陣列元素的數目，從5萬到150萬，畫出下圖：
可以看到，即便到了150萬點，兩種快速排序也僅需差不多半秒鐘就完成了，實在快，改進型快速排序效能確實有微略提高，但並不明顯，從圖中也能看出來，是不是我設定的最小快速排序元素數目不太合適？但我嘗試了好幾個值都相差無幾。
最後看線性複雜度的排序，速度非常驚人，我從40萬測試到1200萬，結果如圖：
可見稍微調整下演算法，速度可以得到質的飛公升，而不是我們以前所認為的那樣：再快也不會比冒泡法快多少啊？
我最後製作一張表，比較一下這些排序法：
各種排序演算法的理解
一，直接插入排序 總體思路 位於表中後面的元素依次與表中前面的元素比較，若比之小，則還需繼續和更前面的元素比較，直至遇到乙個比它大的元素或者比較到第乙個元素 哨兵 了。先將第乙個元素視為有序，第二個元素與第乙個元素比較，若比第乙個元素小，則插入到第乙個元素之前。第三個元素依次與第二個元素 第乙個元素...
徹底理解堆排序
堆分為大根堆和小根堆，是完全二叉樹。大根堆的要求是每個節點的值都不大於其父節點的值，即a parent i a i 在陣列的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因為根據大根堆的要求可知，最大的值一定在堆頂。既然是堆排序，自然需要先建立乙個堆，而建堆的核心內容是調整堆，使二叉樹滿足堆的定義 每個節點的...
深入理解各種排序演算法
hahah 1 插入排序 這種排序的方法是，舉個例子 陣列 3,2,5,4,8,7,1 這裡我們預設用的是從小到大的排序 1 此時陣列為 3,2,5,4,8,7,1 選出第二項 2 與第一項 3 比較，交換位置，陣列變成 2,3,5,4,8,7,1 此輪比較結束 2 此時陣列為 2,3,5,4,8,...