問題2.3求質數（prime1.c )
試編寫乙個程式，找出前n (如200)個質數。如果沒有進一步要求，這不是難題。 但在此希望從所知的、使用除法的方法中，用最快的辦法來編寫程式。
【說明】
可能最先想到的辦法，就是讓某個變數i從2變到n,然後檢查它是不是質數，如果是就顯示出來，如果不是，就檢查下乙個。這是正確的做法，但卻沒有注意到乙個小細節, 因而使程式執行速度變慢。當然，2是質數，但所有2的倍數都不是質數，如果令i從2 變到n,不就很冤枉地測試了 4，6,8,10，…這些數？所以第一點提示是測試2，3，5，7，…，n，即 2與所有奇數就足夠了。同理，3是質數，但6,9,12，…這些3的倍數卻不是，因此，如果能夠把2與3的倍數都跳過去而不測試，任意連續的6個數中，就只會測試兩個而已。以6n，6n+1，6n+2，6n+3，6n+4，6n+5 為例，6n,6n+2，6n+4 是偶數，又 6n+3 是 3 的倍數，所以如果 把2與3的倍數都不理會，要測試的數就只留下6n+1與6n+5而已，因而工作量只是前述想法的2/6=1/3,應該用這個方法去編寫程式。
假設i是如上述的乙個數（不是2與3的倍數)，如何測試i是個質數呢？按照定義，i 如果是質數，也就只有1與i可以除盡自己，所以可以用2,3,4,5,6，…，i-1去除i,如果都除 不盡（餘數不是0), i就是質數。觀點也對，但卻與上一點一樣地笨拙。當i>2時，有哪 1個數i可以被i-1除盡的？沒有，為什麼？如果i不是質數，那麼i=a*b,此地a與b既 不是i又不是1;正因為a>1，a至少是2，因此b最多是i/2而已，去除i的數用不著是 2，3，4，…i-1；而用2，3，4,…,i/2就可以了。不但如此，因為i=a*b，a與b不能大於i^½，為什麼呢？如果i不是質數,它的因子最大就是換言之，用2，3，4，5，…，i^½去除i就行了。
但是，用2,3，4，5，…，i^½去除 i 也是個浪費。就像是前一段所說的，2除不盡，2的倍數 也除不盡；同理，3除不盡，3的倍數也除不盡……最理想的方法就是用質數去除i，因為 在前一段的提示，i不是2與3的倍數，所以就用5，7，11，13，17，19，…這些比 i^½ 小的質數去 除i即可。但問題是這些質數從何而來？這比較簡單，可以準備乙個陣列prime，用來存放找出來的質數，一開始它應該有2、3與5。於是當i=5,7,11，13，17,19,23,25,29，…這些不是2與3 的倍數時，就用prime中小於 i^½ 的數去除 i 即可，如果都除不盡，i就是質數，把它放入 prime中，因此prime中的質數雜會越來越多，直到滿足所要的個數為止。
不妨用這段說明來編寫程式，不過應注意下面幾點：
(1)不要處理2與3的倍數（見第一段)。
(2)用質數去除（見第
二、三段）。
(3)用i^½可能會有問題，為什麼？有什麼方法可以解決？
【解答】
程式的結構本身並不複雜，只解釋幾個重點而已。
第一，看如何跳過2與3的倍數。在問題說明中，看過在6n，6n + 1，6n+2，611+3，6n+4 與6n+5中，只有6n+1與6n+5要做測試，看看是否是質數，看看這兩個數的相對位置。上一組最後乙個要測試的值，與這一組第乙個要測試的值的距離是2; 而同一組中要測試的兩個值之間的距離是4。所以從5起，依次加2、加4、加2、加4、… 就可以得到5，7，11，13，17，19，…這些要測試的值了。但是2+4=6,可以用乙個變數（程式中是 gap),令它的值在開始時為2,下乙個值就是6-gap (就是4),再下次6-gap不就是2了 嗎？這就是程式中gap=6-gap的意義。
第二，不能比較是否小於i^½，原因是對某些i而言，i^½可能並不精確。舉個例子，如 果i=121，在數學上i^½自然是11,但是計算機算出來的結果很可能是10.999999，於是去 除i的數就是2，3，5，7而不含11，因此變成121是個質數了。解決之道很簡單，不要用開方， 用平方即可。例如，如果p*q【程式說明】
在程式中，prime是用來存放找出來的質數的，一開始時就有了 2，3，5這3個最基本 的質數（都小於6)。gap的初值是2，它的值依次是2，4，2，4，…，在解答中見過了。count 計算到目前為止一共找到了多少個質數，2,3，5已經放入prime,所以count的值是3。於 是當count比maxsize小的時候，就產生下乙個要檢查的數，存入may一be一prime,進入 for迴圈做檢查工作；如果是個質數，那麼for迴圈中的if就永遠是假，is一prime的值就不曾被改變，因此就把它存入prime中，這就是程式的基本結構。
#include #define maxsize 100
#define yes 1
#define no 0
int main()
if(is_prime)
prime[count++]=may_be_prime; }
printf("\nprime number generation program");
printf("\n******************************=\n");
printf("\nfirst %d prime numbers are :\n", count);
for (i = 0; i < count; i++)
return 0;
}
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