必須先說明一下定義(我看的定義是電子工業出版社王曉東的書),他說的是在文獻中有兩種定義,取的是以下定義:
設f（n）和g（n）是定義在正數集上的正函式，存在常數c和自然數n0，使得存在n，當n>n0時，f（n）<=cg（n).則稱f（n）當n充分大時，上有界，且為g（n）。記為f（n）=o（g（n））。可畫乙個簡圖如下:
在此處先留下乙個疑問就是f（n）=o（g（n））中"="的含義.
我們先看看這本書上的證明方法:
那麼我們分析一下證明的第一句,設f(n)=o(f),此處的"="應該是o的定義的基礎上,而不是數學上嚴格意義上的等於,從接下來的話就可以看出.因為他說:根據符合o的定義.......
但是為什麼在下面的證明中(也就是證明的第二張)出現了o(f)+o(g)=f(n)+g(n),這豈不是說f(n)=o(f),g(n)=o(g)中的=是數學意義上的等於.
其實從第一張的影象上看,f(n)是無限逼近而且可以真正的重合也即等於,這從定義中就可以看出:f(n)<=cg(n),記為f（n）=o（g（n））,或者可以說這是個抽象的等於(無限接近也可以重合)
同理:這個加號+也是乙個抽象的加號,而不是數學意義上的.
抽象意義下建立的東西在進行數**算後仍然可以具有數學意義.類似的就有很多,比如說集合的加減.
最後還想說一下我的董老師的證明方法,他跟書上(網上)的不一樣,他採取的就是集合的思想:要證a=b,先證a包含於b,再證b包含於a.
如下圖所示:
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