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在國產動畫《天行九歌》中,有這樣乙個場景:在鬼兵盜竊軍餉後,公子韓非深入將軍府,與大將軍姬無夜展開了一場精彩絕倫的對弈,其中涉及到乙個分金幣的遊戲,遊戲規則如下:
中提到的遊戲實際上是一道博弈題:海盜問題。分金幣是一種變種而已,本質是不變的。題目的一種解法已經在中顯示出來了。關於海盜問題如何體現在《天行九歌》中,大家可以自行去看正片(我本身是國漫迷,所以我在這裡推薦大家有空去看一看,再有這一段確實非常精彩,對於理解海盜問題有很大的幫助)。
下面我們就來分析一下海盜問題。
有5個海盜,獲得了100枚金幣,於是他們商量乙個方法來分配金幣,分配的方法如下:
提問:第乙個海盜應該如何提出分配方法,才能保證自己不被餵魚並且利益最大化?
假設有5個海盜a,b,c,d,e
假設a提出方案:a(100),b(0),c(0),d(0),e(0),這種情況下,b,c,d,e毫無疑問會一致反對,反對人數超過半,a會被餵魚。然後繼續分配。
假設b提出方案:b(1),c(33),d(33),e(33),假設此時c反對,其他都同意,此時同意人數超半數,會按照這個方法分配。
下面我們回到問題本身,第乙個海盜a應該如何提出方案?
如果方案是a(0),b(25),c(25),d(25),e(25),這樣a是安全的,但是並沒有達到利益最大化。
如果方案是a(20),b(20),c(20),d(20),e(20),這樣a仍然沒有達到利益最大化。
……對於海盜問題,我們可以使用遞迴的思想進行分析,前乙個海盜的分配方案需要參考後乙個海盜的最優情況,只需要在後乙個海盜的基礎上增加一點點金幣就可以了。因此a在分配時會考慮如果沒有a,b的最優情況。b在分配時會考慮如果沒有b,c的最優情況…以此類推,通過遞迴的思想,我們需要首先分析只有de兩個海盜時d的分配方案:
對於d而言,無論d提出什麼樣的方案,e都可以不同意,由於只有兩人,只要e不同意,d一定會被餵魚,所以對d來說,沒有任何選擇。
對於c而言,由於d沒有任何選擇,所以無論c提出什麼方案,d一定會同意(否則d被餵魚),e一定不同意。此時c(100),d(0),e(0)。
對於b而言,c的最優策略是100個金幣,因此c為了獲得100金幣,一定不會同意b的方案,這是b只需要給de各1個金幣,這比c提出的方案要多乙個金幣,所以de一定會同意,此時3人同意,b(98),c(0),d(1),e(1)。
對於a而言,b的最優策略是98個金幣,b為了獲得98個金幣,必然不會同意a的任何方案,此時有5人,最直接的方式是a需要再說服兩人同意他的方案。c再b方案下是0個金幣,因此a只需要給c1個金幣,c一定會同意,原來de各1各金幣,a只需要獲得其中一人的支援給他2個金幣即可,因此,a
的方案有兩個:a(97),b(0),c(1),d(2),e(0)或者a(97),b(0),c(1),d(0),e(2)。這就是海盜問題的答案,a提出這兩種方案時,不會被餵魚並且利益最大化。
在引言中提到,天行九歌中也存在這樣的問題,只不過在動畫中,分金幣的是三個美人。
通過上面的分析,對於3人分100金幣的問題應該不難回答,第乙個美人為了保住性命,會參考第二個美人的策略,由於第二個美人沒有任何選擇,因此,第乙個美人只需要給第二個美人1個金幣,第二個美人一定會同意,此時達成2:1的局面,第乙個美人獲得99金幣,這是在動畫中的分配方案:
第乙個美人
第二個美人
第三個美人991
0在動畫中,公子韓非提出了這樣的分配方案,然而大將軍姬無夜隨即拔刀指向第乙個美人,第乙個美人立即下跪求饒,並指明乙個金幣也不要了。隨後姬無夜說到強者隨時可以改變規則,而弱者根本沒有資格來制定規則。
其實通過上面的分析,我們可以知道99金幣並不是第乙個美人的最優方案,哪怕第乙個美人拿走100金幣,第二個美人也必須同意,否則,如果只剩兩人的話,第二個美人一定會被處死。所以100個金幣才是第乙個美人的最優策略。
海盜問題還可以繼續擴充套件,比如7個海盜分100金幣,第乙個海盜可以提出的方案會更加多,這就留給大家自己思考吧!
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