最長回文字串

回文串就是乙個正讀和反讀都一樣的字串，比如「level」或者「noon」等等就是回文串。回文子串，顧名思義，即字串中滿足回文性質的子串。比如輸入字串 "google」，由於該字串裡最長的對稱子字串是 "goog」，因此輸出4。

1.問題解決的基本方法

分析：可能很多人都寫過判斷乙個字串是不是對稱的函式，這個題目可以看成是該函式的加強版。

要判斷乙個字串是不是對稱的，不是一件很難的事情。我們可以先得到字串首尾兩個字元，判斷是不是相等。如果不相等，那該字串肯定不是對稱的。否則我們接著判斷裡面的兩個字元是不是相等，以此類推。

/*
*說明：求最長回文字串
*日期：2013-10-15
*/#include
using
namespace
std;
//字串是否對稱
bool isaym(char *cbegin, char *cend)
while(cbegin
cbegin++;
cend--;
}return
true
;}

現在我們試著來得到對稱子字串的最大長度。最直觀的做法就是得到輸入字串的所有子字串，並逐個判斷是不是對稱的。如果乙個子字串是對稱的，我們就得到它的長度，最後經過比較，就能得到最長的對稱子字串的長度了。

//
o(n*n*n)複雜度的子字串
int getmaxsym(char *str)
}plast --;
}pfirst ++;
}return
maxlength;
}

上述方法的時間效率：由於需要兩重while迴圈，每重迴圈需要o（n）的時間。另外，我們在迴圈中呼叫了issym，每次呼叫也需要o（n）的時間。因此整個函式的時間效率是o（n^3）。

假設輸入：abcddcba，按照上述程式，要分割成 'abcddcba』, 'bcddcb』, 'cddc』, 'dd』…等字串，並對這些字串分別進行判斷。不難發現，很多短子字串在長些的子字串中比較過，這導致了大量的冗餘判斷，根本原因是：對字串對稱的判斷是由外向裡進行的。

換一種思路，從裡向外來判斷。也就是先判斷子字串(如dd)是不是對稱的。如果它(dd)不是對稱的，那麼向該子字串兩端各延長乙個字元得到的字串肯定不是對稱的。如果它(dd)對稱，那麼只需要判斷它(dd)兩端延長的乙個字元是不是相等的，如果相等，則延長後的字串是對稱的。

2.改進的解決方案

根據從裡向外比較的思路寫出如下**：

//
改進後的程式
int getmaxsym2(char *str)
if(oddlenght >maxlength)
//偶數子字串
left =ptag;
right = ptag + 1
;        
int evenlength = 0
;        
while(left >= str && *right != '
\0' && *left == *right)
if(evenlength >maxlength)
ptag++;
}return
maxlength;
}

由於子字串的長度可能是奇數也可能是偶數。長度是奇數的字串是從只有乙個字元的中心向兩端延長出來，而長度為偶數的字串是從乙個有兩個字元的中心向兩端延長出來。因此程式中要把這兩種情況都考慮進去。

由於總共有o（n）個字元，每個字元可能延長o（n）次，每次延長時只需要o（1）就能判斷出是不是對稱的，因此整個函式的時間效率是o（n^2）。

上述方法稱為樸素演算法，關於字串的題目常用的演算法有kmp、字尾陣列、ac自動機，這道題目利用擴充套件kmp可以解答，其時間複雜度也很快o(n*logn)。但是，這裡介紹乙個專門針對回文子串的演算法，其時間複雜度為o(n)，這就是manacher演算法。

3.manacher演算法

演算法的基本思路是這樣的：把原串每個字元中間用乙個串中沒出現過的字元分隔#開來(統一奇偶)，同時為了防止越界，在字串的首部也加入乙個特殊符$，但是與分隔符不同。同時字串的末尾也加入'\0'。演算法的核心：用輔助陣列p記錄以每個字元為核心的最長回文字串半徑。也就是p[i]記錄了以str[i]為中心的最長回文字串半徑。p[i]最小為1，此時回文字串就是字串本身。

示例：原字串 'abba』，處理後的新串 ' $#a#b#b#a#\0』，得到對應的輔助陣列p=[0,1,1,2,1,2,5,2,2,1]。

程式如下，對應的變數解釋在後面

//
預處理,將str：abba轉換為: $#a#b#b#a#\0(從1開始)
char * pre(char *str)
prestr[
2*length+2]='#'
;    prestr[
2*length+3]='\0'
;    
return
prestr;
}

以下是manacher演算法的具體實現，包括：輔助陣列的構建、最大字串長度的獲取。

//
manacher演算法
int getmaxsym3(char *str)
else
while(prestr[i-p[i]]==prestr[i+p[i]]&&i-p[i]>0&&i+p[i]
if(i+p[i] >mx)
}//最大回文字串長度
int maxlen = 0
;    
for(int i=0;i)
}delete prestr;
delete p;
return maxlen - 1
;}

上面幾個變數說明：pi記錄具有遍歷過程中最長半徑的回文字串中心字串。mx記錄了具有最長回文字串的右邊界。

pi是最長回文字串（淡藍色）的中心，如果以j為中心的最大回文串如上如所示，那麼i處的情況與j處相同（關於pi的兩側是對稱的）。這樣便減少了運算量，i的對稱位置是2*pi-i。

但是有另外一種情況，就是j的一部分超出藍色部分，這時p[i]=p[j]就不一定對了，如下圖

這就為什麼有取最小值這個操作：

if(mx>i)

剩下的**就很容易看懂了。

最後遍歷一邊p陣列，找出最大的p[i]-1就是所求的最長回文字串長度，說明如下：

（1）因為p[i]記錄插入分隔符之後的回文字串半徑，所以以i為中心的回文字串長度為2*p[i]-1。例如：bb=>#b#b#，中間#的半徑為3，回文字串長度為2*3-1；

（2）注意上面兩個串的關係。 #b#b#減去乙個#號的長度就是原來的2倍。即((2*p[i]-1)-1)/2 = p[i]-1，得證。

最長回文字串

最長回文字串

最長回文字串

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