P06 分組的揹包問題

有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。這些物品被劃分為若干組，每組中的物品互相衝突，最多選一件。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

這個問題變成了每組物品有若干種策略：是選擇本組的某一件，還是一件都不選。也就是說設f[k][v]表示前k組物品花費費用v能取得的最大權值，則有：

f[k][v]=max

使用一維陣列的偽**如下：

for 所有的組k

for v=v..0

for 所有的i屬於組k

f[v]=max

注意這裡的三層迴圈的順序，甚至在本文的第乙個beta版中我自己都寫錯了。「for v=v..0」這一層迴圈必須在「for 所有的i屬於組k」之外。這樣才能保證每一組內的物品最多只有乙個會被新增到揹包中。

另外，顯然可以對每組內的物品應用p02中「乙個簡單有效的優化」。

分組的揹包問題將彼此互斥的若干物品稱為乙個組，這建立了乙個很好的模型。不少揹包問題的變形都可以轉化為分組的揹包問題（例如p07），由分組的揹包問題進一步可定義「泛化物品」的概念，十分有利於解題。