快速排序中的分割演算法的解析與應用

一，分割(partition)演算法介紹

所謂分割演算法，先選定乙個樞軸元素，然後將陣列中的元素分成兩部分：比樞軸元素小的部分都位於樞軸元素左邊；比樞軸元素大的部分都位於樞軸元素右邊

此時，樞軸元素在陣列中的位置就被「永久地確定」下來了---將整個陣列排序，該樞軸元素的位置不會變化。

另外，樞軸元素的選取對分割演算法至關重要。一般而言，終極追求的是：將陣列平分。因此，盡可能地讓樞軸元素的選取隨機化和靠近中位數。

這裡採用「三數取中」法選取樞軸元素。

關於快速排序排序演算法，可參考：排序演算法總結之快速排序

二，分割演算法的實現

1
//分割陣列,將陣列分成兩部分. 一部分比pivot(樞軸元素)大,另一部分比pivot小
2private
static
int parition(int arr, int left, int
right)
11while(arr[--j] >pivot){}
12if(i 13swap(arr, i, j);
14else
15break;16
}1718         swap(arr, i, right-1);//
restore pivot， 將樞軸元素放置到合適位置:arr左邊元素都比pivot小,右邊都比pivot大
19return i;//
返回 pivot的 索引
20     }

①第4行，樞軸元素是通過「三數取中」法選擇的。在「三數取中」時，還做了一些優化：將樞軸元素放到陣列末尾的倒數第二個位置處。具體參考 media3()

需要注意的是：當輸入的陣列中長度為1 或者 2 時， partition會出現向下越界（但對快排而言，當陣列長度很小的，其實可以不用 partition，而是直接用插入排序）。因此，可加入以下的修改。

1
//分割陣列,將陣列分成兩部分. 一部分比pivot(樞軸元素)大,另一部分比pivot小
2private
static
int parition(int arr, int left, int
right)
15while(arr[--j] >pivot){}
16if(i 17swap(arr, i, j);
18else
19break;20
}2122         swap(arr, i, right-1);//
restore pivot 將樞軸元素放置到合適位置:arr左邊元素都比pivot小,右邊都比pivot大
23return i;//
返回 pivot的 索引
24     }

再來看看，三數取中演算法，這裡也有個特殊情況：當陣列中元素個數都沒有3個時....怎麼辦？

//三數取中,用在快排中隨機選擇樞軸元素時

2private

static

int media3(int arr, int left, int

right)

其實，這裡的「三數取中」的實現，與參考資料中提到的三數取中實現有一點不同。這是正常的，畢竟實現細節不同。如果有錯誤，需要自行除錯。

這裡提下第3-7行的兩個if語句：當需要「取中」的目標陣列長度為1時，或者說對陣列中某些範圍內[left, right]的元素進行「取中」時，若left=right，則根本就沒有3個數，違背了「三數取中」的本意（隨機地選取樞軸元素），故直接 return。

當陣列中元素只有乙個時，第18行會越界。為了防止這種情況，在第3-4行就先對陣列長度進行判斷。當陣列中只有兩個元素，其實就相當於 center=left，因此，程式也沒問題。

三，分割演算法的應用

給定乙個陣列，陣列中某個元素出現的次數超過了陣列大小的一半，找出這個元素。

比如輸入：[2,5,4,4,5,5,5,6,5] ，輸出 5

這個問題，其實可以轉化成求解中位數問題。因為，當陣列有序時，出現次數超過一半的那個元素一定位於陣列的中間。

所謂中位數，就是假設陣列是有序的情況下，中間那個元素。即 arr[arr.length/2]

而要求解中位數，當然可以先對陣列進行排序，但排序的時間複雜度為o(nlogn)，那有沒有更快的演算法？

當然是有的。就是借助partition分割演算法來實現。

1
//找出 arr 中 第  n/2  大的那個元素
2public
static
int media_number(int
arr)
15else19}
20return
arr[center];
21     }

上面演算法不僅可以求解「找出超過一半的數字」，也可以求解任何乙個陣列的中位數。

這裡遞迴表示式 t(n)=t(n/2)+o(n)，o(n)表示將陣列分成兩部分所花的代價。

故時間複雜度為o(n)

四，參考資料

整個完整**

public
class
middle_large 
else
}return
arr[center];
}//分割陣列,將陣列分成兩部分. 一部分比pivot(樞軸元素)大,另一部分比pivot小
private
static
int parition(int arr, int left, int
right)
while(arr[--j] >pivot){}
if(i swap(arr, i, j);
else
break
;        }
swap(arr, i, right-1);//
restore pivot 將樞軸元素放置到合適位置:arr左邊元素都比pivot小,右邊都比pivot大
return i;//
返回 pivot的 索引
}    
//三數取中,用在快排中隨機選擇樞軸元素時
private
static
int media3(int arr, int left, int
right)
private
static
void swap(int arr, int left, int
right)
public
static
void
main(string args) ;
int result =media_number(arr);
system.out.println(result);
}}

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