按：今天看tanenbaum的計算機網路時講到了dijkstra演算法。關於演算法的正確性，《演算法導論》給出了嚴格的證明。clrs的證明基於乙個通用的框架，非常清晰。今天只是隨意想想是否有其他證明的方式，結果發現是有的。雖然這種證明方法可能早已有人用過，不算新鮮。不過自己想了一通就把它放到這裡純粹博大家一樂，我盡量寫的簡潔。
首先敘述下演算法：
演算法維護兩個集合，s（已找到從源點v開始的最短路徑的點）和q（未找到從v開始的最短路徑的點）。
演算法初始時s為空集；q中，從v到v本身的最短路徑的權值為0，其他點均為正無窮。
在演算法的每次迭代中，從q中選擇乙個權值最小的點u，這個權值即為從v到u的最短路徑，並且放入s。同時，遍歷u的每個鄰接點x，如果從v到u的最短路徑加上從u到x的邊的權值小於q中記錄的x的權值，則更新x的權值。
（由於實在懶得輸入數學公式，哪些說的不清楚的地方還請參考clrs。）
演算法每次迭代找到乙個點的最短路徑直到s=v、q為空。
證明：使用數學歸納法，假設在某次迭代（不是第一次迭代）之前，s中的點的權值都是最短路徑，我們證明某次迭代之後從q中取出的點的權值依然是這個點的最短路徑。
利用反正，假設本次迭代從q中取出的點u的權值不是最短的，那麼存在一條從v到u的路徑小於這個權值。可知這條路徑上u的前趨一定有乙個屬於s（因為至少v是屬於s的），假設屬於s的第乙個前趨為x，而這條路徑上x的後繼為y。由演算法的性質可知，這條路徑從v到y的權值一定是不小於從q中取出的u的權值的，那麼可知剛剛找到的這條從v到u的路徑權值也不小於從q中取出的u的權值。這與假設矛盾。故u的權值是最短的。
而演算法第一次迭代也滿足從q中取出的店的權值為最優這個性質，故演算法的正確性得證。
Dijkstra演算法的另一種證明
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